Entrenador de Matemáticas Especiales
Este entrenador reúne ejercicios originales por bloques y no tiene una nota global de examen. Consulta el reparto de puntos del modelo concreto que estés preparando; puede variar entre convocatorias.
En los exámenes analizados (2020–2026) hay seis preguntas sobre los mismos temas y en el mismo orden, aunque cambian los apartados y la puntuación. Es un patrón observado, no una garantía de que el próximo examen sea igual. El propio examen trae un formulario con derivadas, progresiones y trigonometría. Aquí tienes el método de cada pregunta y problemas originales del mismo tipo con solución.
Consejos de examen
- Escribe todos los pasos: el planteamiento puntúa aunque te equivoques en una cuenta.
- En las preguntas 1, 2 y 5 suele haber un apartado de «comprobar» o «justificar»: responde con una frase, no solo con el número.
- Repasa el formulario que viene en el examen antes de empezar: te ahorra memorizar fórmulas de progresiones y derivadas.
- Lleva una regla: representar rectas y parábolas aparece casi todos los años.
Pregunta 1 · Ecuaciones e inecuaciones
- Primer grado: quita paréntesis, agrupa y despeja.
- Valor absoluto: |A| < k ⇔ −k < A < k; |A| > k ⇔ A < −k o A > k.
- Segundo grado: halla las raíces y estudia el signo en cada intervalo (o piensa en la parábola: si abre hacia arriba es positiva fuera de las raíces).
- Problemas: llama x a lo que te preguntan, escribe la ecuación con los datos y comprueba el resultado.
- Del examen a la lección: desigualdades con fracciones, dobles desigualdades, comprobar un candidato y problemas de edades o depósitos con resuelto y variante en M15 · Desigualdades del examen; tabla de signos de un producto de dos parábolas en M07 · Signos de un producto.
Calcula
Elige la solución
Pregunta 2 · Rectas
- Pendiente entre A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂): m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Ecuación punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁).
- Paralelas: misma pendiente. Perpendiculares: m₂ = −1/m₁.
- Punto de corte: resuelve el sistema con las dos ecuaciones.
- Representar: da dos valores a x, calcula y, y une los puntos.
- Del examen a la lección: ecuación general, perpendicularidad, corte y dibujo de las dos rectas en un mismo ejercicio, con variante corregida, en M16 · Dos rectas en un ejercicio.
Calcula
Pregunta 3 · Triángulos y trigonometría
- Pitágoras: h² = a² + b². Un triángulo es rectángulo si el lado mayor al cuadrado es la suma de los cuadrados de los otros dos.
- Razones: sen α = opuesto/hipotenusa; cos α = contiguo/hipotenusa; tg α = opuesto/contiguo.
- Problemas (rampas, edificios, sombras): dibuja el triángulo, marca el ángulo y elige la razón que relaciona el dato con la incógnita. Calculadora en grados (DEG).
- Foco que ilumina un ángulo: se parte el ángulo en dos mitades y se usa semiancho = altura · tan(ángulo/2). Método, resuelto y variante en M10 · Foco simétrico.
Problemas
¿Es rectángulo?
Pregunta 4 · Progresiones
- Aritmética (se suma siempre d): aₙ = a₁ + (n − 1)·d; Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2.
- Geométrica (se multiplica siempre por r): aₙ = a₁·rⁿ⁻¹; Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1).
- Lee el enunciado: «cada hora entran 5 m³ más que la anterior» es aritmética; «se duplica», «crece un 3 %» es geométrica (r = 2, r = 1,03).
- Si te dan dos términos, plantea un sistema: a₁₀ = a₁ + 9d, a₃₀ = a₁ + 29d.
Calcula
Pregunta 5 · Funciones
- Composición: (f ∘ g)(a) = f(g(a)): primero g, luego f.
- Dominio: raíz par → lo de dentro ≥ 0; fracción → denominador ≠ 0; logaritmo → argumento > 0. Justifícalo con una frase.
- Comentar una gráfica: acotación (¿tiene techo y suelo?), continuidad (¿se dibuja sin levantar el lápiz?, ¿saltos, agujeros?), crecimiento y decrecimiento por intervalos, máximos y mínimos.
- Del examen a la lección: comentario completo con acotación (supremo, máximo) y crecimiento por intervalos en M09 · Ejemplo resuelto, parte 3 y su variante; funciones con dos tramos de parábola en M13 · Dos tramos cuadráticos.
Composición
Dominio
Pregunta 6 · Derivadas e integrales
- Recta tangente en x = a: y − f(a) = f′(a)·(x − a).
- Máximos y mínimos: resuelve f′(x) = 0; si f″ < 0 es máximo, si f″ > 0 mínimo (o estudia el signo de f′).
- ¿Crece en x = a? Calcula f′(a): positiva → crece; negativa → decrece. Si f es un producto o un cociente con ln, sen o cos, mira M12 · Producto, cociente y cadena (calculadora en RAD al evaluar seno y coseno).
- Área entre dos curvas de a a b: ∫ (f − g) dx con f la de arriba. Con una sola curva sobre el eje: ∫ f dx. Regla: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1).
- Límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado: cociente de los coeficientes principales.