2. Sucesiones y progresiones · lección 18 de 25

M17 Sucesiones y progresiones

Nivel prueba

La idea

Entender el concepto

Una sucesión es una lista de términos ordenados según un índice n. En progresión aritmética se suma diferencia constante d, por ejemplo 2,5,8,…; en geométrica se multiplica por razón r constante, por ejemplo 3,6,12,… .

Aritmética: cada término suma lo mismo (+3), crece en línea recta. Geométrica: cada término se multiplica por lo mismo (×2), crece cada vez más deprisa.

Paso a paso

Método paso a paso

Comprueba si diferencias sucesivas son constantes: aritmética.
Si cocientes son constantes y los términos anteriores no son cero: geométrica.
En aritmética aₙ=a₁+(n−1)d.
En geométrica aₙ=a₁·rⁿ⁻¹.
Para suma aritmética Sₙ=n(a₁+aₙ)/2.

Ejemplo

Ejemplo resuelto

Sucesión 4,7,10,... tiene d=3. Quinto término a₅=4+4×3=16. La suma de cinco términos es S₅=5(4+16)/2=50.

Cuidado

Error habitual y cómo corregirlo

Error: confundir diferencia con razón; 2,4,8 aumenta multiplicando, no sumando cantidad constante.

Tu turno · enunciado

Ejercicio autónomo

Halla sexto término de 1,4,7,...

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución orientativa

1+5×3=16.

Chuleta para el examen

Chuleta integrada

Aritmética: aₙ=a₁+(n−1)d; geométrica: aₙ=a₁rⁿ⁻¹.

Progresiones en problemas con contexto

Objetivo: decidir si un enunciado describe una progresión aritmética o geométrica, plantear el término general y la suma, contar bien términos y saltos y resolver un sistema cuando te dan dos términos no consecutivos. Es práctica original orientativa; no completa el temario ni reproduce un examen.

Bases previas: M04 Porcentajes y proporcionalidad · M08 Sistemas de dos ecuaciones · M05 Potencias, raíces y notación científica.

Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Comprobar sin ayuda

Bases: sumar una cantidad o multiplicar por un factor

Progresión aritmética (PA) y geométrica (PG)
	Aritmética	Geométrica
Paso de un término al siguiente	Se suma la diferencia d = aₙ₊₁ − aₙ	Se multiplica por la razón r = aₙ₊₁/aₙ
Término general	aₙ = a₁ + (n − 1)d	aₙ = a₁·rⁿ⁻¹
Entre dos términos cualesquiera	aₙ = aₘ + (n − m)d	aₙ = aₘ·rⁿ⁻ᵐ
Suma de los n primeros	Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2	Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1), si r ≠ 1

Del término 1 al término n hay n − 1 saltos. Del término m al n hay n − m saltos.
No toda PG crece: con r > 1 y a₁ > 0 crece; con 0 < r < 1 y a₁ > 0 decrece hacia 0; con r < 0 los signos se alternan.
Un porcentaje se traduce en razón: aumentar un 5 % es multiplicar por 1,05; perder un 20 % es multiplicar por 0,80, no por 0,20.

Señales del enunciado (se leen juntas)

«Cada vez … más», «aumenta en», «se añaden … cada»: cantidad fija sumada → PA. Comprueba que lo que se repite es la diferencia.
«Se duplica», «cada año un 5 % más», «conserva el 80 %», «se reduce a la mitad»: factor fijo → PG. Comprueba que lo que se repite es el cociente.
«¿Cuántos en total…?» pide una suma Sₙ; «¿cuántos en la fila, el día o el año n?» pide un término aₙ; «¿en qué momento…?» pide despejar n.
Una palabra como «aumenta» no decide sola: «aumenta en 3» es PA; «aumenta un 3 %» es PG.

Método en cinco fases

Identificar. ¿Qué cantidad es aₙ y qué significa n? Escribe dos o tres términos con su significado.
Modelar. Decide PA o PG comprobando diferencia o cociente. Si te dan dos términos no consecutivos, escribe una ecuación para cada uno.
Elegir método. Término general, suma, o despejar n. Con dos ecuaciones, resuelve el sistema (en PA restando; en PG dividiendo).
Calcular. Sustituye y opera sin redondear hasta el final.
Comprobar. Recupera los datos del enunciado con tus valores y revisa que el resultado tenga sentido (número entero de filas, valor positivo, unidades).

Errores frecuentes

Contar términos en lugar de saltos: entre a₃ y a₈ hay 5 diferencias, no 8 ni 6.
Confundir diferencia y razón: en 4, 8, 16 la diferencia no es constante (4 y 8); la razón sí (2).
Traducir «pierde un 20 %» como r = 0,2.
Usar Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 en una progresión geométrica.
Suponer que una PG siempre crece o tomar una razón negativa sin que el contexto la admita.

Ejemplo resuelto (5 fases)

Enunciado. En un auditorio, cada fila tiene el mismo número de asientos más que la anterior. La fila 3 tiene 10 asientos y la fila 8 tiene 25. ¿Cuántos asientos tiene la fila 1? ¿Y la fila 20? ¿Cuántos asientos hay en total en las 20 filas?

Identificar. aₙ = asientos de la fila n. Datos: a₃ = 10, a₈ = 25. Piden a₁, a₂₀ y S₂₀.
Modelar. «El mismo número más» es una cantidad sumada: PA. Los datos no son consecutivos, así que se plantea a₁ + 2d = 10 y a₁ + 7d = 25.
Elegir método. Restar las ecuaciones elimina a₁: entre la fila 3 y la 8 hay 8 − 3 = 5 saltos.
Calcular. 5d = 15 ⟹ d = 3; a₁ = 10 − 2·3 = 4. a₂₀ = 4 + 19·3 = 61. S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 10·65 = 650 asientos.
Comprobar. a₃ = 4 + 2·3 = 10 y a₈ = 4 + 7·3 = 25: coinciden con el enunciado. Todos los resultados son enteros y positivos, como deben serlo los asientos.

Variante autónoma: un caso geométrico

Un coche conserva cada año el mismo porcentaje de su valor del año anterior. Al final del año 2 vale 16 000 € y al final del año 4 vale 10 240 €. Llama aₙ al valor al final del año n.

¿Qué porcentaje de valor pierde cada año?
¿Cuánto valía al final del año 1?
¿Cuánto valdrá al final del año 6?
¿En qué año su valor baja por primera vez de 5 000 €?

Mostrar solución de la variante

Identificar y modelar. «Conserva el mismo porcentaje» es un factor fijo: PG. a₂ = 16 000 y a₄ = 10 240; del término 2 al 4 hay 2 saltos: a₄ = a₂·r².
Razón. r² = 10 240/16 000 = 0,64 ⟹ r = 0,8. Se toma la raíz positiva porque un valor en euros no cambia de signo. Conserva el 80 %: pierde un 20 % cada año.
a₁. a₁ = a₂/r = 16 000/0,8 = 20 000 €.
a₆. a₆ = a₄·r² = 10 240·0,64 = 6 553,60 €.
Bajar de 5 000 €. a₇ = 6 553,60·0,8 = 5 242,88 € (todavía por encima); a₈ = 5 242,88·0,8 = 4 194,30 €. Baja por primera vez de 5 000 € al final del año 8.

Comprobación: a₂ = 20 000·0,8 = 16 000 y a₄ = 20 000·0,8³ = 10 240. Es una PG decreciente porque 0 < r < 1.

Tres preguntas para comprobar sin ayuda

Práctica original sin puntuación automática; no es una pregunta oficial. Elige una opción y justifícala antes de abrir cada solución.

1. Número de términos

Una PA empieza en a₁ = 7, tiene d = 5 y su último término es 52. ¿Cuántos términos tiene?

Mostrar clave y feedback de la pregunta 1

B (correcta). 7 + (n − 1)·5 = 52 ⟹ n − 1 = 9 ⟹ n = 10. Comprobación: 7 + 9·5 = 52.
A. 9 es el número de saltos, n − 1, no el de términos.
C. Suma un término de más: a₁₁ = 57.
D. a₈ = 42, todavía no llega a 52.

2. Suma de una progresión geométrica

Una persona ahorra 50 € el primer mes y cada mes ahorra el doble que el anterior. ¿Cuánto ha ahorrado en total al terminar el sexto mes?

3 200 €
3 150 €
1 600 €
300 €

Mostrar clave y feedback de la pregunta 2

B (correcta). PG con a₁ = 50 y r = 2: S₆ = 50(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 50·63 = 3 150 €. Comprobación: 50 + 100 + 200 + 400 + 800 + 1 600 = 3 150.
A. Calcula 50·2⁶ y olvida restar 1 en la fórmula de la suma.
C. 1 600 € es lo ahorrado solo en el sexto mes, a₆, no el total.
D. Trata el ahorro como constante (6·50): ni siquiera es una PA con d ≠ 0.

3. Diferencia, razón y crecimiento

¿Qué afirmación es correcta?

Toda progresión geométrica crece, porque se multiplica.
En 81, 27, 9, 3, … la razón es 1/3 y la sucesión decrece; con r = −2 los signos se alternan.
En 81, 27, 9, 3, … la diferencia constante es −54.
Si 0 < r < 1, la suma de los n primeros términos es n(a₁ + aₙ)/2.

Mostrar clave y feedback de la pregunta 3

B (correcta). 27/81 = 9/27 = 3/9 = 1/3: el cociente es constante y menor que 1, con términos positivos, así que decrece. Una razón negativa cambia el signo en cada paso: 1, −2, 4, −8, …
A. Multiplicar por un número entre 0 y 1 reduce los términos positivos.
C. Las diferencias son −54, −18 y −6: no son constantes, así que no es PA.
D. Esa fórmula es la de la suma aritmética; en una PG se usa Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1).

Para recordar

Suma fija → PA: aₙ = aₘ + (n − m)d. Factor fijo → PG: aₙ = aₘ·rⁿ⁻ᵐ. Porcentaje: r = 1 ± tanto por uno.
Dos términos no consecutivos → dos ecuaciones: restar (PA) o dividir (PG).

Criterio de logro: justificas si es PA o PG con la diferencia o el cociente, planteas el término o la suma pedidos, cuentas bien los saltos y compruebas el resultado con los datos del enunciado.

Repasa la idea clave en Memorizar.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Origen: orientativo (migrada de v0.9); ampliación de progresiones en contexto añadida el 23/10/2026. Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.