1 (cont.). Ecuaciones, sistemas y geometría del plano · lección 17 de 25
M16 Geometría analítica: punto, recta y pendiente
La idea
Entender el concepto
En el plano cartesiano un punto se representa (x,y). La distancia entre dos puntos es d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]. Una recta no vertical tiene ecuación y=mx+b, con pendiente m=Δy/Δx; las paralelas tienen igual pendiente.
Paso a paso
Método paso a paso
- Representa puntos sobre ejes.
- Calcula diferencias x₂−x₁ e y₂−y₁.
- Para distancia aplica Pitágoras.
- Para recta calcula pendiente y sustituye un punto para hallar b.
- Comprueba con el otro punto.
Ejemplo
Ejemplo resuelto
A=(1,2), B=(3,6). Pendiente (6−2)/(3−1)=4/2=2. Recta y=2x+b; usando A: 2=2+b ⇒ b=0 ⇒ y=2x.
Cuidado
Error habitual y cómo corregirlo
Error: calcular pendiente como Δx/Δy; orden correcto es Δy/Δx.
Tu turno · enunciado
Ejercicio autónomo
Encuentra recta por (0,3) y (1,5).
Solución
Solución de contraste (consultar después)
Mostrar solución orientativa
m=2, b=3; y=2x+3.
Chuleta para el examen
Chuleta integrada
m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁); d=√(Δx²+Δy²).
Dos rectas en un ejercicio: ecuación, perpendicularidad, punto de corte y dibujo
Objetivo: pasar una recta de forma general a explícita, decidir si dos rectas son perpendiculares, calcular la perpendicular por un punto, hallar el punto de corte y representar las dos rectas en papel comprobando que el corte coincide. Es la pregunta 2 de los modelos de Matemáticas Especiales 2025 y 2026; los ejemplos resueltos son propios.
Bases previas: M01 Despejes · M08 Sistemas de dos ecuaciones · M03 Fracciones.
Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Practicar en el entrenador (pregunta 2)
Bases
- Forma explícita y = mx + n: m es la pendiente (lo que sube y por cada unidad de x) y n la ordenada en el origen, el punto (0, n).
- Forma general Ax + By + C = 0 con B ≠ 0: se despeja y. Por ejemplo, 9x + 3y = 39 ⟹ 3y = −9x + 39 ⟹ y = −3x + 13.
- Paralelas: misma pendiente. Perpendiculares: para dos rectas con pendiente finita, m₁ · m₂ = −1; si m₁ ≠ 0, m₂ = −1/m₁ (inversa y con el signo cambiado). La perpendicular a una horizontal es vertical y no se expresa con pendiente finita.
- Recta por un punto P(x₁, y₁) con pendiente m: y − y₁ = m(x − x₁).
- El punto de corte es la solución del sistema formado por las dos ecuaciones; debe cumplir las dos.
- Para dibujar una recta bastan dos puntos calculados con su ecuación; un tercero sirve de control.
Método
- Escribe las dos rectas en forma explícita y señala sus pendientes.
- Perpendicularidad: si ambas pendientes son finitas, multiplícalas. Son perpendiculares si el producto es −1; dilo con una frase.
- Corte: iguala las dos expresiones de y (o usa reducción), despeja x, calcula y y sustituye en las dos ecuaciones.
- Dibujo: tabla de dos valores por recta, ejes con escala, une los puntos y rotula cada recta. El corte del dibujo debe coincidir con el calculado; si no, revisa la tabla.
- Recta perpendicular por un punto: si m es finita y distinta de cero, pendiente −1/m y fórmula punto-pendiente; comprueba que el punto la cumple.
Errores frecuentes
- Leer la pendiente en forma general sin despejar: en −x + 2y − 5 = 0 la pendiente es 1/2, no −1.
- Tomar como perpendicular la pendiente inversa sin cambiar el signo (2 y 1/2 no son perpendiculares: su producto es 1).
- Dar el corte sin comprobarlo en la segunda recta.
- Dibujar con escalas distintas sin indicarlo, o con puntos «a ojo» que no salen de la ecuación.
Ejemplo resuelto
Enunciado. Sean r1: y = −2x + 9 y r2: x − 2y + 3 = 0. a) Razona si son perpendiculares. b) Calcula su punto de corte. c) Represéntalas. d) Calcula la recta perpendicular a y = 3x − 4 que pasa por P(2, −1).
- a) r2 en explícita: 2y = x + 3 ⟹ y = x/2 + 3/2, pendiente 1/2. Producto: (−2) · (1/2) = −1 ⟹ sí son perpendiculares.
- b) −2x + 9 = (x + 3)/2 ⟹ −4x + 18 = x + 3 ⟹ 15 = 5x ⟹ x = 3; y = −6 + 9 = 3. Comprobación en r2: 3 − 6 + 3 = 0. Corte (3, 3).
- c) Tablas: r1 pasa por (0, 9) y (4, 1); r2 pasa por (−3, 0) y (5, 4). Se dibujan con la misma escala en los dos ejes; las dos rectas se cruzan en (3, 3) y forman ángulo recto.
- d) La pendiente de y = 3x − 4 es 3; la perpendicular tiene m = −1/3. Por P(2, −1): y + 1 = −(x − 2)/3 ⟹ y = −x/3 − 1/3. Comprobación: −2/3 − 1/3 = −1, así que P está en la recta.
Variante autónoma
Sean r1: y = 3x − 2 y r2: 2x + y − 8 = 0.
a) Razona si son perpendiculares. b) Calcula el punto de corte. c) Represéntalas en papel con dos puntos de cada una. d) Calcula la recta perpendicular a r1 que pasa por el punto de corte.
Mostrar solución razonada de la variante
- a) r2: y = −2x + 8, pendiente −2. Producto 3 · (−2) = −6 ≠ −1: no son perpendiculares.
- b) 3x − 2 = −2x + 8 ⟹ x = 2, y = 4. Comprobación en r2: 4 + 4 − 8 = 0. Corte (2, 4).
- c) Por ejemplo, r1 por (0, −2) y (3, 7); r2 por (0, 8) y (4, 0). En el dibujo deben cruzarse en (2, 4).
- d) m = −1/3 por (2, 4): y − 4 = −(x − 2)/3 ⟹ y = −x/3 + 14/3. Comprobación: −2/3 + 14/3 = 4.
Criterio: pendientes leídas tras despejar, producto de pendientes con conclusión, corte comprobado en las dos rectas, dibujo con dos puntos por recta y el corte visible. Error que se detecta aquí: concluir perpendicularidad porque las pendientes tienen signo distinto.
Contraste con los modelos 2025 y 2026
Pregunta 2 de los modelos (texto extraído de los PDF). Soluciones orientativas propias, no corrección oficial.
- 2026, modelo 2: y = 2x − 5 y −x + 2y − 5 = 0 ⟹ y = x/2 + 5/2. Pendientes 2 y 1/2, producto 1: no son perpendiculares. Corte: 2x − 5 = x/2 + 5/2 ⟹ x = 5, y = 5.
- 2026, modelo 1: y = 2x + 3 y 9x + 3y = 39 ⟹ y = −3x + 13. Corte (2, 7).
- 2025, 2a: perpendicular a y = −x/2 + 5 por P(3, 1): m = 2 ⟹ y = 2x − 5.
- 2025, 2b: el texto de las dos rectas está dañado en la extracción; no se reconstruye su enunciado ni su solución.
Para recordar
- Despejar y antes de leer la pendiente. Con ambas pendientes finitas, perpendiculares ⟺ m₁ · m₂ = −1.
- Corte = sistema, comprobado en las dos. Dibujo = dos puntos por recta y el corte a la vista.
Repasa la idea clave en Memorizar.
Comprueba lo que sabes
Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.
Origen: orientativo (migrada de v0.9). Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.