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Matemáticas Especiales

1. Números y operaciones · lección 11 de 25

M15 Números reales, intervalos y valor absoluto

Base

La idea

Entender el concepto

Los números reales incluyen racionales (fracciones y decimales periódicos o finitos) e irracionales (como √2 y π). Un intervalo representa conjuntos continuos de valores. El valor absoluto |x| es la distancia desde x hasta cero, siempre no negativa.

-4-3-2-10123456789105 unidades5 unidadescentro: 3−2 (no incluido)8 (no incluido)
|x − 3| < 5 significa «x está a menos de 5 unidades del 3»: el intervalo abierto −2 < x < 8.

Paso a paso

Método paso a paso

  1. Distingue fracciones exactas de irracionales.
  2. Al escribir intervalos, usa corchete si extremo está incluido y paréntesis si no.
  3. Para |x−a|, interpreta distancia entre x y a.
  4. Resuelve |x|<a, a>0, como −a<x<a.

Ejemplo

Ejemplo resuelto

La desigualdad |x−2|≤3 indica puntos a distancia máxima 3 de 2: −1≤x≤5, intervalo [−1,5].

Cuidado

Error habitual y cómo corregirlo

Error: creer que |−5| es −5; su distancia al cero es 5.

Tu turno · enunciado

Ejercicio autónomo

Resuelve |x|≤4.

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución orientativa

−4≤x≤4.

Chuleta para el examen

Chuleta integrada

|x|≥0; |x|<a ⇔ −a<x<a (a>0).

Desigualdades con fracciones, dobles desigualdades y problemas planteados con una ecuación

Objetivo: resolver paso a paso una desigualdad lineal con denominadores o una doble desigualdad, comprobar si un número concreto cumple una desigualdad y plantear una ecuación a partir de un enunciado (edades, depósitos). Es el tipo de tarea de la pregunta 1 en los modelos de Matemáticas Especiales 2025 y 2026; los ejemplos de este bloque son propios.

Bases previas: M00C Sumar y restar fracciones (m.c.m.) · M03 Fracciones · M01 Despejes paso a paso · M06 Ecuaciones de primer grado. El signo de un producto de dos parábolas está en M07 · Signos de un producto.

Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Contraste con los modelos · Practicar en el entrenador (pregunta 1)

Bases: qué se puede hacer con una desigualdad

  • Sumar o restar el mismo número a los dos lados no cambia el sentido: x − 3 < 5 ⟹ x < 8.
  • Multiplicar o dividir por un número positivo no cambia el sentido. Por eso se puede multiplicar todo por el m.c.m. de los denominadores, que es positivo.
  • Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido: −2x > 6 ⟹ x < −3. Comprobación: x = −4 da 8 > 6.
  • Una doble desigualdad a < A < b son dos condiciones a la vez. Se opera sobre los tres miembros o se resuelven por separado y se cortan.
  • Solución en intervalo: < y > dejan el extremo fuera (paréntesis); ≤ y ≥ lo incluyen (corchete). Ver el resumen de intervalos de esta lección.

Señales del enunciado

  • «Resuelve, paso a paso»: se espera ver el m.c.m., la multiplicación de cada término, el despeje y la solución como intervalo.
  • Un número a cada lado (121 < … < 310): doble desigualdad; la solución es un intervalo acotado.
  • «Comprueba si x = 7 pertenece…», «justifica si x = 12 es solución…»: no hace falta resolver; se sustituye en los dos lados, se calculan los dos números y se compara con una frase.
  • «Plantea y resuelve una ecuación»: hay que nombrar la incógnita con su unidad, escribir la igualdad y comprobar el resultado en el enunciado.

Método

  1. Calcula el m.c.m. de los denominadores y multiplica cada término de cada miembro (también los que no tienen denominador). Pon paréntesis al numerador que va restando.
  2. Quita paréntesis con la distributiva y agrupa las x en un lado.
  3. Despeja. Si divides por un número negativo, cambia el sentido.
  4. Escribe la solución como desigualdad y como intervalo, con el extremo bien marcado.
  5. Comprueba con el extremo (debe dar igualdad) y con un valor de dentro y otro de fuera.
  6. En un problema: incógnita con unidades → ecuación → solución → comprobación con los datos → frase de respuesta.

Errores frecuentes

  • Multiplicar por el m.c.m. solo las fracciones: en (x + 1)/2 + x < 3, el término x también se multiplica por 2.
  • Olvidar el paréntesis del numerador que resta: −(x + 2) es −x − 2, no −x + 2.
  • Dividir por un negativo sin invertir el sentido.
  • En una doble desigualdad, operar solo en uno de los lados.
  • Al comprobar un candidato, redondear antes de comparar o comparar solo un lado.
  • En el problema, dar el número sin decir qué significa (minutos, años, litros).

Ejemplo resuelto

a) Desigualdad con dos fracciones. Resuelve (3x − 1)/2 − (x + 2)/3 ≤ 4.

  1. m.c.m.(2, 3) = 6, positivo: multiplicamos los tres términos por 6 y el sentido no cambia: 3(3x − 1) − 2(x + 2) ≤ 24.
  2. Distributiva: 9x − 3 − 2x − 4 ≤ 24 ⟹ 7x − 7 ≤ 24.
  3. Despeje: 7x ≤ 31 ⟹ x ≤ 31/7, es decir, (−∞, 31/7]. El extremo entra porque la desigualdad es ≤.
  4. Comprobación: en x = 31/7 el primer miembro vale exactamente 4; con x = 0 vale −1/2 − 2/3 = −7/6 ≤ 4 (cumple); con x = 5 vale 7 − 7/3 = 14/3 > 4 (no cumple).

b) Doble desigualdad. Resuelve −1 < (2x + 3)/5 ≤ 3.

  1. Multiplicamos los tres miembros por 5: −5 < 2x + 3 ≤ 15.
  2. Restamos 3 en los tres: −8 < 2x ≤ 12. Dividimos entre 2: −4 < x ≤ 6, es decir, (−4, 6].
  3. Comprobación: x = −4 da (−5)/5 = −1, que no es mayor que −1 (queda fuera); x = 6 da 15/5 = 3 ≤ 3 (entra); x = 0 da 3/5, entre −1 y 3.

c) Comprobar un candidato. ¿Cumple x = 5 la desigualdad 2x³ − 1 > 9x² + 30?

  1. Primer miembro: 2 · 125 − 1 = 249. Segundo miembro: 9 · 25 + 30 = 255.
  2. 249 > 255 es falso: x = 5 no pertenece a la solución. No hace falta resolver la desigualdad de tercer grado.

d) Plantear una ecuación. Un depósito A tiene 120 L y pierde 3 L por minuto; otro depósito B tiene 40 L y recibe 2 L por minuto. ¿Al cabo de cuántos minutos tendrán la misma cantidad?

  1. Incógnita: t = minutos transcurridos. Cantidad en A: 120 − 3t; en B: 40 + 2t (litros).
  2. Igualdad: 120 − 3t = 40 + 2t ⟹ 80 = 5t ⟹ t = 16 minutos.
  3. Comprobación: A tiene 120 − 48 = 72 L y B tiene 40 + 32 = 72 L. Respuesta: a los 16 minutos ambos tienen 72 L.

Variante autónoma

Escribe cada paso antes de abrir la solución.

a) Resuelve 2 ≤ (4x − 6)/3 + x < 9 y da la solución como intervalo.

b) Resuelve (x + 4)/6 − (2x − 1)/4 > 1.

c) Justifica si x = −1 y si x = 2 son soluciones de 4x² + 3 < 5(x + 2).

d) Una madre tiene 38 años y su hija 8. Plantea y resuelve una ecuación para saber dentro de cuántos años la edad de la madre será el triple de la de su hija.

e) Un depósito tiene 200 L y recibe 6 L por minuto; otro tiene 290 L y recibe 1,5 L por minuto. ¿Cuándo tendrán la misma cantidad y cuánta será?

Mostrar solución razonada de la variante
  • a) Por 3 en los tres miembros: 6 ≤ 4x − 6 + 3x < 27 ⟹ 6 ≤ 7x − 6 < 27 ⟹ 12 ≤ 7x < 33 ⟹ [12/7, 33/7). Comprobación: x = 12/7 da exactamente 2 (entra) y x = 33/7 da exactamente 9 (no entra); x = 2 da 2/3 + 2 = 8/3, que está entre 2 y 9.
  • b) m.c.m. 12: 2(x + 4) − 3(2x − 1) > 12 ⟹ 2x + 8 − 6x + 3 > 12 ⟹ −4x > 1. Al dividir entre −4 se invierte: x < −1/4, (−∞, −1/4). Comprobación: x = −1 da 1/2 + 3/4 = 5/4 > 1 (cumple); x = 0 da 2/3 + 1/4 = 11/12, que no es mayor que 1.
  • c) x = −1: 4 + 3 = 7 y 5 · 1 = 5; 7 < 5 es falso, no es solución. x = 2: 16 + 3 = 19 y 5 · 4 = 20; 19 < 20 es cierto, sí es solución.
  • d) x = años que pasan: 38 + x = 3(8 + x) ⟹ 38 + x = 24 + 3x ⟹ 14 = 2x ⟹ x = 7 años. Comprobación: 45 = 3 · 15.
  • e) t en minutos: 200 + 6t = 290 + 1,5t ⟹ 4,5t = 90 ⟹ t = 20 min; los dos tienen 200 + 120 = 320 L y 290 + 30 = 320 L.

Criterio: m.c.m. aplicado a todos los términos, cambio de sentido justificado al dividir por un negativo, intervalo con extremos correctos, comprobación con números y respuesta con unidades. Errores que se detectan aquí: no invertir en b), dejar el 12/7 fuera en a), o resolver la desigualdad completa en c) cuando solo se pedía sustituir.

Contraste con los modelos 2025 y 2026

Referencias: pregunta 1 de los modelos de Matemáticas Especiales (abril 2025; marzo 2026, modelos 1 y 2), leídos en el texto extraído de los PDF. Las soluciones son orientativas y propias, no una corrección oficial.

  • 2026, modelo 1, 1a: 121 < (5x − 2)/4 + x < 310 ⟹ por 4: 484 < 9x − 2 < 1240 ⟹ 54 < x < 138.
  • 2026, modelo 1, 1b: con x = 7, 10 · 343 + 13 = 3443 y 12(6 · 49 − 1) = 3516; 3443 > 3516 es falso, x = 7 no pertenece.
  • 2026, modelo 2, 1b: con x = 12, en b.1 1733 > 1490 (sí es solución); en b.2 2180 < 384 es falso (no lo es).
  • 2026, modelo 1, 1c: 26 + x = 2(5 + x) ⟹ x = 16 años. 2026, modelo 2, 1c: 50 + 4x = 95 + 2,5x ⟹ x = 30 minutos, con 170 L en cada depósito.
  • 2025, 1a, y 2026, modelo 2, 1a: en el texto extraído, el signo que agrupa la fracción y el sumando está dañado y no se puede confirmar si son paréntesis o barras de valor absoluto. No se da aquí su solución. Si fueran paréntesis, se resuelve con el método de este bloque; si fueran barras, se aplica |A| < k ⇔ −k < A < k (o su versión con >), explicada en esta misma lección.

Para recordar

  • m.c.m. a todos los términos · paréntesis al numerador que resta · ÷ negativo invierte el sentido.
  • Doble desigualdad: lo mismo en los tres miembros. Candidato: sustituir en los dos lados y comparar.
  • Problema: incógnita con unidades → ecuación → comprobación → frase.

Criterio de logro: resuelves con todos los pasos visibles, das el intervalo con los extremos correctos y lo compruebas con números.

Repasa la idea clave en Memorizar.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Origen: orientativo (migrada de v0.9). Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.