6. Integrales y áreas · lección 25 de 25
M14 Integrales inmediatas y áreas
La idea
Entender el concepto
Integrar es, en parte, realizar el proceso inverso de derivar. Una primitiva de f(x) es una función F cuya derivada es f. La integral indefinida incluye una constante C. La integral definida de una función positiva sobre un intervalo puede interpretarse como área.
Paso a paso
Método paso a paso
- Para xⁿ con n≠−1, aumenta el exponente una unidad.
- Divide por el exponente nuevo.
- Añade C si es integral indefinida.
- En integral definida, encuentra F y calcula F(b)−F(a).
Ejemplo
Ejemplo resuelto
∫ 2x dx = x²+C. Para ∫₀² 2x dx, usamos F(x)=x²: F(2)−F(0)=4−0=4 unidades cuadradas.
Cuidado
Error habitual y cómo corregirlo
Error: olvidar dividir por el nuevo exponente o añadir +C en una integral definida.
Tu turno · enunciado
Ejercicio autónomo
Calcula ∫₀³ 2 dx.
Solución
Solución de contraste (consultar después)
Mostrar solución orientativa
Primitiva F=2x. Resultado 2·3−0=6.
Chuleta para el examen
Chuleta integrada
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C si n≠−1; definida = F(b)−F(a).
Integral con signo y área geométrica
Objetivo: distinguir el valor de una integral definida, que puede ser negativo o cero, del área entre una curva y el eje, que nunca es negativa; localizar los cortes, dividir el intervalo y calcular cada parte con primitivas de potencias. Es práctica original orientativa; no completa el temario ni reproduce un examen.
Bases previas: lo anterior de esta lección (primitivas de xⁿ y F(b) − F(a)) · M07 Ecuaciones de segundo grado (cortes con el eje) · M09 Funciones: dominio, imagen y gráfica.
Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Comprobar sin ayuda
Bases: por qué la integral tiene signo
- La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx acumula «altura × anchura» de rectángulos muy estrechos. Donde f(x) > 0 cada rectángulo suma; donde f(x) < 0 su altura es negativa y resta. Por eso la integral es un balance con signo.
- Se calcula con una primitiva: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) (regla de Barrow), con F′ = f.
- El área entre la curva y el eje cuenta todas las partes como positivas. Si f cambia de signo dentro de [a, b], se divide el intervalo en los cortes y se suman los valores absolutos de cada integral.
- Entre dos curvas, en un intervalo donde f(x) ≥ g(x), el área es ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx: la de arriba menos la de abajo. Si se cruzan, también se divide en los puntos de corte.
| En el tramo… | Integral del tramo | Área del tramo |
|---|---|---|
| Curva por encima del eje (f ≥ 0) | Positiva o cero | Igual a la integral |
| Curva por debajo del eje (f ≤ 0) | Negativa o cero | Valor absoluto de la integral |
Señales del enunciado (se leen juntas)
- «Calcula ∫ₐᵇ …» o «el valor de la integral»: se da el resultado con signo, sin dividir obligatoriamente.
- «Área del recinto», «área limitada por la curva y el eje», «área entre las curvas»: hay que buscar cortes y sumar áreas no negativas.
- Una palabra no decide sola: si f ≥ 0 en [a, b], área e integral coinciden; si f ≤ 0, el área es el opuesto de la integral. Si cambia de signo, divide el intervalo y suma las áreas de los tramos.
Método
- Resuelve f(x) = 0 (o f(x) = g(x) si son dos curvas) y quédate con los cortes que están dentro de [a, b].
- Divide [a, b] en esos puntos y estudia el signo de f en cada tramo sustituyendo un valor interior.
- Calcula una primitiva F y la integral de cada tramo con F(fin) − F(inicio).
- Integral con signo: suma los resultados tal como salen. Área: suma sus valores absolutos.
- Comprueba: el área es mayor o igual que el valor absoluto de la integral, y cada tramo tiene el signo que predice la gráfica.
Errores frecuentes
- Dar como área la integral de a a b cuando la curva cruza el eje: las partes positivas y negativas se compensan.
- Tomar el valor absoluto solo al final, |∫ₐᵇ f|, en lugar de en cada tramo.
- Usar un corte que está fuera del intervalo pedido.
- Restar al revés entre dos curvas (la de abajo menos la de arriba) y dar un área negativa.
- Añadir + C en una integral definida: se usa una primitiva concreta y la constante se cancela.
Ejemplo resuelto
Enunciado. Para f(x) = x² − 4x + 3 en [0, 4], calcula ∫₀⁴ f(x) dx y el área entre la gráfica de f y el eje de abscisas en ese intervalo.
- Cortes. x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0 ⟹ x = 1 y x = 3, los dos dentro de [0, 4].
- Signo. f(0,5) = 1,25 > 0; f(2) = −1 < 0; f(3,5) = 1,25 > 0. La curva está por encima en [0, 1], por debajo en [1, 3] y por encima en [3, 4].
- Primitiva. F(x) = x³/3 − 2x² + 3x. Valores: F(0) = 0; F(1) = 1/3 − 2 + 3 = 4/3; F(3) = 9 − 18 + 9 = 0; F(4) = 64/3 − 32 + 12 = 4/3.
- Tramos. ∫₀¹ f = 4/3 − 0 = 4/3; ∫₁³ f = 0 − 4/3 = −4/3; ∫₃⁴ f = 4/3 − 0 = 4/3.
- Resultados. Integral con signo: ∫₀⁴ f(x) dx = F(4) − F(0) = 4/3 (también 4/3 − 4/3 + 4/3). Área: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 unidades cuadradas.
Comprobación: el tramo central es negativo, como predice el signo, y el área (4) es mayor que la integral (4/3) porque la parte bajo el eje se ha contado como positiva.
Variante autónoma
Para g(x) = x³ − x en [−1, 2], calcula ∫₋₁² g(x) dx y el área entre la gráfica de g y el eje de abscisas en ese intervalo.
Mostrar solución de la variante
- Cortes. x³ − x = x(x − 1)(x + 1) = 0 ⟹ x = −1, 0, 1. Dentro de [−1, 2] dividen en [−1, 0], [0, 1] y [1, 2].
- Signo. g(−0,5) = 0,375 > 0; g(0,5) = −0,375 < 0; g(1,5) = 1,875 > 0.
- Primitiva. G(x) = x⁴/4 − x²/2. G(−1) = −1/4; G(0) = 0; G(1) = −1/4; G(2) = 4 − 2 = 2.
- Tramos. ∫₋₁⁰ g = 0 − (−1/4) = 1/4; ∫₀¹ g = −1/4 − 0 = −1/4; ∫₁² g = 2 − (−1/4) = 9/4.
- Resultados. Integral: G(2) − G(−1) = 2 + 1/4 = 9/4. Área: 1/4 + 1/4 + 9/4 = 11/4 = 2,75 unidades cuadradas.
Comprobación: integral y área difieren en 2·(1/4), el doble del tramo negativo, porque ese tramo resta en la integral y suma en el área.
Tres preguntas para comprobar sin ayuda
Práctica original sin puntuación automática; no es una pregunta oficial. Elige una opción y justifícala antes de abrir cada solución.
1. Una recta que cruza el eje
Para f(x) = x en [−2, 2], ¿cuáles son la integral y el área entre la recta y el eje?
- Integral 0 y área 0.
- Integral 0 y área 4.
- Integral 4 y área 4.
- Integral 2 y área 2.
Mostrar clave y feedback de la pregunta 1
- B (correcta). F(x) = x²/2: ∫₋₂² x dx = 2 − 2 = 0. Por tramos, ∫₋₂⁰ x dx = −2 y ∫₀² x dx = 2, así que el área es 2 + 2 = 4.
- A. El área no puede ser 0 si hay dos triángulos de área 2: se han compensado como en la integral.
- C. La integral de una función impar en un intervalo simétrico se anula; 4 es el área.
- D. Solo considera el tramo [0, 2].
2. Cuándo dividir el intervalo
Se pide el área entre f(x) = x² − 1 y el eje de abscisas en [0, 2]. ¿Qué planteamiento es correcto?
- Integrar directamente de 0 a 2: el área es 2/3.
- Dividir en x = 1: |∫₀¹ f| + ∫₁² f = 2/3 + 4/3 = 2.
- Calcular |∫₀² f| = 2/3.
- Dividir en x = 1 y sumar con signo: −2/3 + 4/3 = 2/3.
Mostrar clave y feedback de la pregunta 2
- B (correcta). Los cortes son x = ±1; solo x = 1 está en [0, 2]. Con F(x) = x³/3 − x: ∫₀¹ f = −2/3 (bajo el eje) y ∫₁² f = 2/3 − (−2/3) = 4/3. Área = 2/3 + 4/3 = 2.
- A. 2/3 es la integral con signo, no el área, porque la curva cruza el eje.
- C. El valor absoluto al final no deshace la compensación entre tramos.
- D. Divide bien, pero vuelve a sumar con signo: obtiene otra vez la integral.
3. Área entre dos curvas
¿Cuál es el área entre y = x e y = x² en [0, 1]?
- ∫₀¹ (x² − x) dx = −1/6, así que el área es −1/6.
- 1/6, porque en [0, 1] se cumple x ≥ x² y ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3.
- 5/6, sumando ∫₀¹ x dx + ∫₀¹ x² dx.
- 1/3, la integral de x² en [0, 1].
Mostrar clave y feedback de la pregunta 3
- B (correcta). Las curvas se cortan en x = 0 y x = 1; en medio, por ejemplo en x = 0,5, la recta (0,5) está por encima de la parábola (0,25). Arriba menos abajo: 1/2 − 1/3 = 1/6.
- A. Resta al revés; un área no puede ser negativa.
- C. El área entre curvas es la diferencia de las áreas bajo cada una, no la suma.
- D. Es solo el área bajo la parábola; falta restarla de la que queda bajo la recta.
Para recordar
- Integral definida = balance con signo = F(b) − F(a). Área = suma de |integral| de cada tramo entre cortes.
- Entre dos curvas: ∫ (arriba − abajo), dividiendo donde se cruzan.
Criterio de logro: localizas los cortes dentro del intervalo, estudias el signo de cada tramo, calculas cada integral con una primitiva y distingues el valor de la integral del área pedida.
Repasa la idea clave en Memorizar.
Comprueba lo que sabes
Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.
Origen: orientativo (migrada de v0.9); ampliación de integral con signo y área añadida el 23/10/2026. Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.