5. Derivadas · lección 24 de 25

M13 Máximos y mínimos sencillos

Nivel prueba

La idea

Entender el concepto

Un extremo relativo puede localizarse en puntos donde la derivada vale cero, siempre que la derivada exista, pero no todo punto con f′=0 es necesariamente máximo o mínimo. El cambio de signo de la derivada ayuda a clasificarlo.

Donde f′(x) = 0 la tangente es horizontal: ahí están el máximo (x = 1) y el mínimo (x = 3) de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Entre medias, f′ es negativa y la función decrece.

Paso a paso

Método paso a paso

Calcula f′(x).
Resuelve f′(x)=0 para hallar candidatos.
Observa el signo de f′ a izquierda y derecha.
Si pasa de negativo a positivo: mínimo; de positivo a negativo: máximo.
Calcula la altura sustituyendo el x del extremo en f.

Ejemplo

Ejemplo resuelto

f(x)=x²−4x+3 ⇒ f′(x)=2x−4=0 en x=2. Antes de 2 la derivada es negativa; después positiva: mínimo. f(2)=4−8+3=−1.

Cuidado

Error habitual y cómo corregirlo

Error: asegurar máximo solo por cumplir f′=0. Debe comprobarse el comportamiento.

Tu turno · enunciado

Ejercicio autónomo

Halla el vértice de f(x)=x²−6x+5.

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución orientativa

f′=2x−6=0 ⇒ x=3; f(3)=−4; mínimo (3,−4).

Chuleta para el examen

Chuleta integrada

− a + en f′ = mínimo; + a − = máximo.

Representar una parábola y una función con dos tramos de parábola

Objetivo: dibujar una parábola con sus puntos clave y una función definida a trozos por dos parábolas, cada una solo en su intervalo, con los extremos abiertos o cerrados bien marcados. Es el tipo de tarea de la pregunta 6a de los modelos de Matemáticas Especiales de 2026; los ejemplos resueltos son propios.

Bases previas: el método completo de parábolas (orientación, cortes, vértice y tabla) está en Matemáticas CCSS · MS10 Parábolas: bases y su método; aquí no se repite. Funciones a trozos y puntos huecos: M09 · Dominio y lectura de gráficas. Raíces: M07. La tangente que se pide después sobre la misma gráfica está en M12 y el entrenador (pregunta 6).

Método · Ver el caso resuelto · Resolver una variante

Método

Cada parábola por separado: orientación por el signo de a; vértice con x = −b/(2a) y sustituyendo; cortes con el eje x resolviendo f(x) = 0; corte con el eje y en x = 0.
Recorta al intervalo: de los puntos anteriores, quédate solo con los que caen dentro del intervalo de ese tramo. Un vértice o un corte fuera del intervalo no se dibuja.
Frontera: sustituye el valor frontera en las dos expresiones. Con < o > el punto es hueco (no pertenece); con ≤ o ≥ es relleno.
Añade uno o dos puntos más de cada tramo para que la curva tenga la forma correcta y dibuja con la misma escala que indiques.
Comenta lo que ves: si los dos valores en la frontera son distintos, hay un salto.

Errores frecuentes

Dibujar las dos parábolas completas y superpuestas.
Calcular el valor de la frontera solo con la expresión que la incluye y olvidar adónde llega el otro tramo.
Poner punto relleno en los dos lados o en ninguno.
Dibujar un vértice que está fuera de su intervalo.

Ejemplo resuelto

Enunciado. Representa g(x) = x² + 2x − 3 si x < 1; g(x) = −x² + 8x − 12 si x ≥ 1.

Tramo 1 (x < 1): a = 1 > 0, abre hacia arriba. Vértice: x = −2/2 = −1, g(−1) = 1 − 2 − 3 = −4 ⟹ V(−1, −4), dentro del tramo. Cortes: x² + 2x − 3 = 0 ⟹ x = −3 o x = 1; solo (−3, 0) está dentro, porque x = 1 no pertenece a este tramo. Corte con el eje y: (0, −3).
Frontera por la izquierda: 1 + 2 − 3 = 0 ⟹ el tramo 1 llega a (1, 0) con punto hueco.
Tramo 2 (x ≥ 1): a = −1 < 0, abre hacia abajo. Vértice: x = −8/(−2) = 4, g(4) = −16 + 32 − 12 = 4 ⟹ V(4, 4). Cortes: x² − 8x + 12 = 0 ⟹ x = 2 o x = 6, los dos dentro.
Valor en la frontera: g(1) = −1 + 8 − 12 = −5 ⟹ punto relleno (1, −5). Un punto más: g(7) = −5.
Lectura: en x = 1 la gráfica salta de 0 (hueco) a −5 (relleno): no es continua en x = 1.

g(x) = x² + 2x − 3 si x < 1 (parábola hacia arriba, vértice (−1, −4), termina en el punto hueco (1, 0)) y g(x) = −x² + 8x − 12 si x ≥ 1 (parábola hacia abajo, empieza en el punto relleno (1, −5), vértice (4, 4), corta el eje en 2 y 6). Hay un salto en x = 1.

Variante autónoma

Representa h(x) = −x² − 2x + 3 si x ≤ 0; h(x) = x² − 4x si x > 0. Indica vértices, cortes dentro de cada tramo y qué ocurre en x = 0.

Mostrar solución razonada de la variante

Tramo 1 (x ≤ 0): abre hacia abajo; vértice x = 2/(−2) = −1, h(−1) = −1 + 2 + 3 = 4 ⟹ V(−1, 4). Cortes: −x² − 2x + 3 = 0 ⟹ x = −3 o x = 1; solo (−3, 0) está en el tramo. h(0) = 3 ⟹ (0, 3) relleno.
Tramo 2 (x > 0): abre hacia arriba; vértice x = 2, h(2) = 4 − 8 = −4 ⟹ V(2, −4). Cortes: x(x − 4) = 0 ⟹ x = 0 (no pertenece al tramo) y (4, 0). Por la derecha de 0 se llega a (0, 0) con punto hueco. Otro punto: h(5) = 5.
En x = 0: el valor es 3 y por la derecha la gráfica se acerca a 0: hay un salto, no es continua en 0.

Criterio: cada tramo solo en su intervalo, vértices y cortes calculados, frontera evaluada en las dos expresiones con hueco y relleno correctos. Error que se detecta aquí: dibujar el corte (1, 0) del primer tramo o el (0, 0) relleno.

Contraste con los modelos 2026

Pregunta 6a de los modelos de marzo de 2026 (texto extraído). Soluciones orientativas propias, no corrección oficial.

Modelo 1: f(x) = −x² + 2x + 8: abre hacia abajo, vértice (1, 9), cortes (−2, 0) y (4, 0), corte con el eje y (0, 8). La tangente en x = 2 que se pide después es y = −2x + 12.
Modelo 2: f(x) = −x² + 2x + 8 si x < 3; x² − 8x + 12 si x ≥ 3. Tramo 1: vértice (1, 9), corte (−2, 0) (el 4 queda fuera), llega a (3, 5) con punto hueco. Tramo 2: f(3) = −3 relleno, vértice (4, −4), corte (6, 0) (el 2 queda fuera). Salto en x = 3.

Para recordar

Vértice x = −b/(2a); solo se dibujan vértice y cortes que caen dentro de su intervalo.
Frontera en las dos expresiones: <, > ⟹ hueco; ≤, ≥ ⟹ relleno.

Repasa la idea clave en Memorizar y las parábolas en Memorizar de Matemáticas CCSS.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Origen: orientativo (migrada de v0.9). Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.