5. Derivadas · lección 23 de 25
M12 Derivadas: reglas y significado
La idea
Entender el concepto
La derivada mide la variación instantánea de una función y la pendiente de su recta tangente. La regla de la potencia permite derivar xⁿ como n·xⁿ⁻¹; una constante deriva a cero. Derivar exige conocer funciones y potencias.
Paso a paso
Método paso a paso
- Separa términos de la función.
- Aplica la regla de la potencia a cada xⁿ.
- Deriva las constantes como 0.
- Simplifica.
- Si se pide pendiente en x=a, sustituye a en f′(x).
Ejemplo
Ejemplo resuelto
f(x)=3x²−4x+7. Derivamos término a término: f′(x)=6x−4. En x=2, la pendiente es f′(2)=12−4=8.
Cuidado
Error habitual y cómo corregirlo
Error: derivar x² como x sin multiplicar por el exponente; correcto: 2x.
Tu turno · enunciado
Ejercicio autónomo
Calcula la derivada de 2x³−5x+9.
Solución
Solución de contraste (consultar después)
Mostrar solución orientativa
6x²−5.
Chuleta para el examen
Chuleta integrada
(xⁿ)′=n xⁿ⁻¹; (c)′=0; (ax+b)′=a.
Producto, cociente y cadena con logaritmos y trigonometría: ¿crece en un punto?
Objetivo: derivar un cociente con un logaritmo o un producto con un coseno o un seno, aplicando la regla de la cadena a la función interior, y decidir si la función crece o decrece en un punto por el signo de la derivada. Es el tipo de tarea de la pregunta 6b de los modelos de Matemáticas Especiales 2025 y 2026 (modelo 2); los ejemplos resueltos son propios. Los modelos consultados incluyen un formulario de apoyo con algunas reglas; aquí se explican las necesarias para resolver estos casos.
Bases previas: derivadas de potencias y suma de esta lección · M18 Logaritmos · M09 Dominio · M03 Fracciones.
Recuperar las bases · Ver los casos resueltos · Resolver una variante · Practicar en el entrenador (pregunta 6)
Bases: reglas y significado del signo
| Forma | Derivada |
|---|---|
| Producto f · g | f′ · g + f · g′ |
| Cociente f / g | (f′ · g − f · g′) / g² |
| ln u | u′ / u |
| sen u | u′ · cos u |
| cos u | −u′ · sen u |
- Cadena: u es la función interior (lo que está dentro del ln, del seno o del coseno) y se deriva aparte. En ln(x²), u = x² y u′ = 2x: la derivada es 2x/x² = 2/x, para x ≠ 0.
- Signo: si f′(a) > 0, f es creciente en x = a; si f′(a) < 0, es decreciente. Basta el signo; el valor exacto es la comprobación.
- Restricciones: el punto debe estar en el dominio (argumento del ln positivo, denominador no nulo).
- Radianes: las fórmulas (sen u)′ = u′ · cos u y (cos u)′ = −u′ · sen u valen con u en radianes. Para evaluar f′(10) con cos(50), la calculadora va en RAD. En los triángulos de M10 se usa DEG.
Método
- Identifica la forma principal: ¿producto o cociente? Nombra f y g.
- Deriva f y g por separado; si alguna lleva ln, sen o cos de algo, aplica la cadena con su u.
- Sustituye en la regla sin simplificar de más: escribe la fórmula completa.
- Comprueba que el punto está en el dominio y evalúa f′(a), con la calculadora en RAD si hay seno o coseno.
- Concluye con una frase: «f′(a) ≈ … > 0, luego f es creciente en x = a».
Errores frecuentes
- Derivar un producto como producto de derivadas: (f · g)′ ≠ f′ · g′.
- Cambiar el orden de la resta del cociente: es f′g − fg′, no fg′ − f′g.
- Olvidar la derivada interior: (cos 5x)′ = −5 sen 5x, no −sen 5x.
- Olvidar el signo menos de la derivada del coseno.
- Evaluar en grados: con cos(50°) el signo puede salir al revés.
- Contestar «sí» o «no» sin el valor o el signo de la derivada.
Ejemplos resueltos
A) Cociente con logaritmo. Sea f(x) = ln(x² + 1)/(2x + 3). ¿Es creciente en x = 1?
- Numerador N = ln(x² + 1), con u = x² + 1 y u′ = 2x ⟹ N′ = 2x/(x² + 1). Denominador D = 2x + 3 ⟹ D′ = 2.
- f′(x) = [ (2x/(x² + 1)) · (2x + 3) − 2 · ln(x² + 1) ] / (2x + 3)².
- Dominio: x² + 1 > 0 siempre y 2x + 3 ≠ 0 en x = 1.
- f′(1) = [ 1 · 5 − 2 ln 2 ] / 25 = (5 − 1,386294)/25 ≈ 0,144548 > 0 ⟹ f es creciente en x = 1.
B) Producto con trigonometría. Sea g(x) = (x² − 4x) · sen(2x). ¿Es creciente en x = 3?
- f = x² − 4x ⟹ f′ = 2x − 4. sen(2x): u = 2x, u′ = 2 ⟹ derivada 2cos(2x).
- g′(x) = (2x − 4) · sen(2x) + 2(x² − 4x) · cos(2x).
- En x = 3, con la calculadora en RAD: g′(3) = 2 sen 6 − 6 cos 6 ≈ 2 · (−0,279415) − 6 · 0,960170 ≈ −6,319853 < 0 ⟹ g es decreciente en x = 3.
Variante autónoma
a) Sea h(x) = ln(3x − 2)/x². ¿Es creciente en x = 2?
b) Sea k(x) = (2x² + x) · cos(3x). ¿Es creciente en x = 4?
Mostrar solución razonada de la variante
- a) N′ = 3/(3x − 2) (cadena con u = 3x − 2) y D′ = 2x. h′(x) = [ (3/(3x − 2)) · x² − 2x · ln(3x − 2) ] / x⁴. En x = 2 (3x − 2 = 4 > 0): h′(2) = (3 − 4 ln 4)/16 ≈ (3 − 5,545177)/16 ≈ −0,159074 < 0 ⟹ decreciente en x = 2.
- b) k′(x) = (4x + 1) · cos(3x) − 3(2x² + x) · sen(3x). En RAD: k′(4) = 17 cos 12 − 108 sen 12 ≈ 17 · 0,843854 − 108 · (−0,536573) ≈ 14,345518 + 57,949882 ≈ 72,295 > 0 ⟹ creciente en x = 4.
Criterio: regla principal escrita, derivada interior visible, punto del dominio, evaluación en RAD y conclusión por el signo. Errores que se detectan aquí: en a), olvidar el factor 3 de la cadena; en b), olvidar el −3 del coseno o evaluar en grados.
Contraste con los modelos
Pregunta 6b del modelo de abril de 2025 y del modelo 2 de marzo de 2026 (texto extraído; en 2025 se lee f(x) = ln(x²)/(7x − 5)). Soluciones orientativas propias, no corrección oficial.
- 2025: f′(x) = [ (2/x)(7x − 5) − 7 ln(x²) ] / (7x − 5)². f′(10) = (13 − 7 ln 100)/4225 ≈ (13 − 32,236191)/4225 ≈ −0,004553 < 0: en x = 10 la función es decreciente, no creciente.
- 2026, modelo 2: f(x) = (3x² − 7x) · cos(5x) ⟹ f′(x) = (6x − 7) cos 5x − 5(3x² − 7x) sen 5x. En RAD: f′(10) = 53 cos 50 − 1150 sen 50 ≈ 352,874 > 0: creciente en x = 10. Con la calculadora en grados se obtendría un valor negativo, que no corresponde a la fórmula.
Para recordar
- (fg)′ = f′g + fg′ · (f/g)′ = (f′g − fg′)/g² · (ln u)′ = u′/u · (sen u)′ = u′cos u · (cos u)′ = −u′sen u.
- f′(a) > 0 crece; f′(a) < 0 decrece. Trigonometría en derivadas: RAD.
Repasa la idea clave en Memorizar.
Comprueba lo que sabes
Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.
Origen: orientativo (migrada de v0.9). Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.