3. Trigonometría · lección 19 de 25
M10 Trigonometría del triángulo rectángulo
La idea
Entender el concepto
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es cateto opuesto/hipotenusa; coseno es cateto contiguo/hipotenusa; tangente es opuesto/contiguo. El teorema de Pitágoras conecta los tres lados: a²+b²=c².
Paso a paso
Método paso a paso
- Dibuja y marca el ángulo de referencia.
- Identifica opuesto, contiguo e hipotenusa.
- Selecciona la razón que une el lado conocido y el buscado.
- Despeja y calcula usando el modo grados si el ángulo está en grados.
- Verifica que la hipotenusa sea el lado mayor.
Ejemplo
Ejemplo resuelto
Triángulo 3-4-5. Respecto al ángulo opuesto al lado 3: seno=3/5=0,6; coseno=4/5=0,8; tangente=3/4=0,75.
Cuidado
Error habitual y cómo corregirlo
Error: llamar «opuesto» siempre al mismo cateto sin tener en cuenta el ángulo elegido.
Tu turno · enunciado
Ejercicio autónomo
Calcula coseno del ángulo contiguo al cateto 12 en un triángulo 5-12-13.
Solución
Solución de contraste (consultar después)
Mostrar solución orientativa
cos = 12/13.
Chuleta para el examen
Chuleta integrada
sen=op/hip; cos=cont/hip; tan=op/cont; Pitágoras c²=a²+b².
Un foco que ilumina un ángulo: partir en dos triángulos rectángulos
Objetivo: calcular el ancho que ilumina un foco a partir de su altura y del ángulo total del haz, y el tramo que queda sin luz entre dos focos. La clave es partir el ángulo en dos mitades iguales para trabajar con un triángulo rectángulo. Es el tipo de tarea de la pregunta 3 del modelo 2 de Matemáticas Especiales de 2026; los ejemplos resueltos son propios. Las rampas y alturas intermedias ya se practican en el entrenador (pregunta 3).
Bases previas: razones trigonométricas de esta lección · M05 Potencias y raíces · M04 Proporcionalidad.
Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante
Bases y condición del modelo
- En un triángulo rectángulo, tan α = cateto opuesto / cateto contiguo. Si conoces el contiguo y el ángulo: opuesto = contiguo · tan α.
- Condición que hay que leer o suponer explícitamente: el foco está en lo alto de la farola, apunta verticalmente hacia abajo y su haz es simétrico. Entonces la vertical divide el ángulo total en dos mitades iguales y forma dos triángulos rectángulos iguales: cateto contiguo = altura, ángulo = mitad del total, cateto opuesto = semiancho iluminado.
- Si el enunciado o la figura dicen otra cosa (foco inclinado, haz que no es simétrico), este reparto no vale y hay que modelar lo que se describe.
- Calculadora en modo grados (DEG) para ángulos de triángulos. El modo radianes se usa al evaluar derivadas de seno y coseno (M12).
Método
- Dibuja la farola, la vertical y los dos bordes del haz. Escribe la condición de simetría.
- Ángulo de cada mitad: α/2. Semiancho = altura · tan(α/2).
- Ancho iluminado por una farola = 2 · semiancho.
- Entre dos farolas separadas una distancia d, cada una ilumina un semiancho hacia la otra: tramo sin luz = d − 2 · semiancho. Si sale negativo, no hay hueco: los haces se solapan.
- Conserva los decimales de la calculadora hasta el final y redondea solo el resultado, con unidades.
Errores frecuentes
- Usar el ángulo total en la tangente: tan 120° es negativa y no es la razón de ningún ángulo de este triángulo.
- Usar seno o coseno con la altura como si fuera la hipotenusa.
- Restar a la separación dos anchos completos en lugar de los dos semianchos que se acercan entre sí (un ancho completo en total, para farolas iguales).
- Calculadora en radianes con ángulos en grados.
- Redondear el semiancho y después duplicarlo: el error se duplica.
Ejemplo resuelto
Enunciado. Dos farolas de 5 m de altura están separadas 15 m. Cada foco apunta verticalmente hacia abajo con un haz simétrico de 100°. a) ¿Qué ancho de acera ilumina una farola? b) ¿Qué tramo entre ellas queda sin luz directa?
- Mitad del ángulo: 100°/2 = 50°. En cada triángulo, contiguo = 5 m y opuesto = semiancho.
- Semiancho = 5 · tan 50° ≈ 5 · 1,191754 ≈ 5,958768 m (se guarda este valor).
- a) Ancho = 2 · 5,958768 ≈ 11,918 m.
- b) Sin luz = 15 − 11,917536 ≈ 3,082 m, en el centro del tramo entre las dos farolas.
- Comprobación de sentido: el semiancho es mayor que la altura porque 50° > 45° (tan 45° = 1).
Variante autónoma
a) Dos farolas de 7 m de altura están separadas 20 m y sus focos verticales tienen un haz simétrico de 80°. Calcula el ancho iluminado por una farola y el tramo sin luz entre ellas.
b) Con focos verticales de 120°, ¿qué altura mínima deben tener dos farolas separadas 24 m para que no quede ningún tramo sin luz entre ellas?
Mostrar solución razonada de la variante
- a) Mitad: 40°. Semiancho = 7 · tan 40° ≈ 5,873697 m. Ancho ≈ 11,747 m. Sin luz = 20 − 11,747395 ≈ 8,253 m.
- b) Sin hueco si 2 · h · tan 60° ≥ 24, es decir, h ≥ 12/tan 60° = 12/√3 ≈ 6,928 m. Comprobación: con h = 6,928 m, el semiancho es 6,928 · 1,732051 ≈ 12,000 m y cada farola llega justo al punto medio.
Criterio: dibujo con la mitad del ángulo, condición de simetría escrita, tangente bien elegida, resta de dos semianchos y redondeo final con unidades. Error que se detecta aquí: en b), plantear con el ángulo de 120° entero.
Contraste con el modelo 2026 (modelo 2, pregunta 3)
El texto extraído dice: dos farolas de 8 m a 30 m de distancia, foco de 120°. La extracción no conserva ninguna figura; la solución siguiente supone foco vertical y simétrico. Antes de atribuirla al examen, comprueba la figura o el enunciado original. Solución orientativa propia.
- Semiancho = 8 · tan 60° ≈ 13,856406 m; ancho ≈ 27,713 m.
- Sin luz = 30 − 27,712813 ≈ 2,287 m.
- En el modelo de 2025 (pregunta 3) los datos de los triángulos dependen de una figura que no se puede leer en la extracción: no se resuelve aquí.
Para recordar
- Haz simétrico vertical: semiancho = altura · tan(ángulo/2); ancho = 2 · semiancho.
- Hueco entre dos focos = separación − 2 · semiancho (negativo ⟹ se solapan). Grados en triángulos.
Repasa la idea clave en Memorizar.
Comprueba lo que sabes
Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.
Origen: orientativo (migrada de v0.9). Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.