4. Funciones, logaritmos y exponenciales; límites y continuidad · lección 20 de 25

M09 Funciones: dominio, imagen y gráfica

Base

La idea

Entender el concepto

Una función asigna a cada valor permitido x exactamente un valor y=f(x). El dominio reúne las entradas posibles; la imagen (o recorrido) reúne las salidas. La gráfica representa pares (x,f(x)). En una función lineal afín y=mx+b, m es la pendiente y b el corte con el eje vertical.

Al comentar una gráfica: crece donde sube de izquierda a derecha, decrece donde baja; es continua si se dibuja sin levantar el lápiz (aquí hay un salto en x = 4); está acotada si no supera un techo ni baja de un suelo.

Paso a paso

Método paso a paso

Identifica la regla que transforma x en y.
Comprueba restricciones: no dividir entre cero y no raíz par de negativo en reales.
Elige valores de x, calcula sus y y dibuja los puntos.
Interpreta crecimiento y cortes de la gráfica.

Ejemplo

Ejemplo resuelto

f(x)=2x+1. Para x=−1, y=−1; para x=0, y=1; para x=2, y=5. Los puntos están en una recta de pendiente 2 y ordenada en origen 1.

Cuidado

Error habitual y cómo corregirlo

Error: pensar que la expresión 1/x está definida en x=0. El dominio excluye 0.

Tu turno · enunciado

Ejercicio autónomo

Para f(x)=x²−1 calcula f(−2), f(0), f(2).

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución orientativa

3, −1 y 3 respectivamente.

Chuleta para el examen

Chuleta integrada

Función = una salida por entrada. y=mx+b: pendiente m, corte vertical b.

Dominio con varias condiciones y lectura de gráficas con puntos abiertos y cerrados

Objetivo: calcular el dominio de una función que combina raíz, logaritmo y cociente, y leer en una gráfica descrita por tramos su dominio, su imagen, los límites laterales y la continuidad. Es práctica original orientativa; no completa el temario ni reproduce un examen.

Bases previas: M15 Números reales, intervalos y valor absoluto · M18 Logaritmos y funciones exponenciales · M11 Límites y continuidad: primera aproximación. Para dibujar funciones con dos tramos de parábola: M13 · Dos tramos cuadráticos.

Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Comprobar sin ayuda

Bases: cada operación impone una condición

Condiciones para trabajar con números reales
Si aparece…	Condición	¿Extremo incluido?
Raíz de índice par √A	A ≥ 0	Sí: √0 = 0 existe (corchete)
Logaritmo ln A o log A	A > 0	No: el logaritmo de 0 no existe (paréntesis)
Cociente N/D	D ≠ 0	Se quita solo el punto que anula D

Todas las condiciones se cumplen a la vez: el dominio es la intersección de los conjuntos, no su unión.
Corchete [ ] = extremo incluido; paréntesis ( ) = extremo excluido. En una gráfica, un punto relleno indica que ese par (x, y) pertenece a la función; un punto hueco indica que no pertenece.
Límite lateral: valor al que se acerca f(x) cuando x se aproxima por la izquierda (x→a⁻) o por la derecha (x→a⁺). f es continua en a si existe f(a), existen los dos límites laterales, son iguales y coinciden con f(a).
Acotación: f está acotada superiormente si ningún valor supera un número M (una cota superior), e inferiormente si ninguno baja de un número m. La menor cota superior se llama supremo; si la función la alcanza en algún punto relleno, es además su máximo absoluto. Igual por abajo con ínfimo y mínimo. Un punto hueco puede ser supremo sin ser máximo.
Monotonía por intervalos: f es creciente en un intervalo si, al aumentar x dentro de él, f(x) aumenta; decreciente si disminuye. Se da intervalo por intervalo, separando por los puntos donde cambia el sentido o hay un salto.

Señales del enunciado (se leen juntas)

«Dominio», «¿dónde está definida?» o una expresión con raíz, logaritmo y fracción: anota una condición por cada operación antes de simplificar.
Una raíz en el denominador o un logaritmo en el denominador suman dos condiciones: la de la operación y que el denominador no valga 0.
«A partir de la gráfica», «imagen», «límites laterales», «continuidad»: busca los extremos de cada tramo y si el punto es relleno o hueco. Una sola marca no decide: compara el punto con los tramos que llegan por cada lado.

Método

Escribe cada condición por separado y resuélvela.
Represéntalas sobre la recta real y quédate con la parte común. Marca qué extremos entran y cuáles no.
Comprueba los extremos sustituyendo: si al sustituir aparece √(negativo), ln 0, ln(negativo) o división entre 0, ese valor no entra.
En una gráfica, recorre los tramos de izquierda a derecha: dominio = valores de x con algún punto de la gráfica; imagen = valores de y alcanzados, incluidos los de los puntos aislados.
Si conoces la expresión de cada tramo, calcula los límites laterales con ella. Un dibujo a mano alzada o impreciso solo sirve para orientarte: la continuidad se justifica con los valores calculados o con las coordenadas exactas que dé el enunciado.

Errores frecuentes

Unir las condiciones en lugar de cortarlas: con x ≤ 4 y x > −2 el dominio es (−2, 4], no todos los reales.
Incluir el extremo de un logaritmo: ln(x + 2) exige x > −2, con paréntesis.
Olvidar que ln A = 0 cuando A = 1: si el logaritmo está en el denominador, hay que quitar ese punto.
Dar como imagen solo los extremos de los tramos u olvidar un punto aislado.
Decir que existe el límite porque f(a) existe, o que no existe porque hay un punto hueco: el límite depende de los valores cercanos, no del punto.

Ejemplo resuelto

Parte 1. Enunciado. Calcula el dominio de f(x) = √(4 − x) / ln(x + 2).

Raíz: 4 − x ≥ 0 ⟹ x ≤ 4. El 4 entra: √0 = 0.
Logaritmo: x + 2 > 0 ⟹ x > −2. El −2 no entra.
Denominador: ln(x + 2) ≠ 0 ⟹ x + 2 ≠ 1 ⟹ x ≠ −1.
Intersección: (−2, 4] sin el −1, es decir, Dom f = (−2, −1) ∪ (−1, 4].
Comprobación: f(4) = √0/ln 6 = 0 existe; en x = −1 el denominador vale ln 1 = 0; en x = 0, f(0) = 2/ln 2 ≈ 2,885 existe; en x = −2 aparecería ln 0, que no existe.

Parte 2. Enunciado. La gráfica de una función g está formada por los elementos de la tabla. Calcula su dominio, su imagen, g(1), los límites laterales en x = 1 y estudia la continuidad en ese punto.

Descripción de la gráfica de g
Elemento	Desde	Hasta	Expresión
Segmento 1	(−3, 2), punto relleno	(1, 4), punto hueco	g(x) = x/2 + 7/2 si −3 ≤ x < 1
Punto aislado	(1, −1), punto relleno		g(1) = −1
Segmento 2	(1, 1), punto hueco	(4, 3), punto relleno	g(x) = 1 + 2(x − 1)/3 si 1 < x ≤ 4

Dominio: el segmento 1 cubre [−3, 1); el punto aislado añade x = 1; el segmento 2 cubre (1, 4]. Dom g = [−3, 4].
Imagen: el segmento 1 sube de 2 (incluido) a 4 (excluido): [2, 4). El segmento 2 sube de 1 (excluido) a 3 (incluido): (1, 3]. El punto aislado aporta −1. Unión: Im g = {−1} ∪ (1, 4).
Valor: g(1) = −1, el único punto relleno con x = 1.
Límites laterales: lím_x→1⁻ g(x) = 1/2 + 7/2 = 4; lím_x→1⁺ g(x) = 1 + 0 = 1. Son distintos: no existe lím_x→1 g(x).
Continuidad: g no es continua en x = 1 (discontinuidad de salto). Que exista g(1) no basta.

Parte 3. Enunciado. Con la misma función g, comenta su acotación y su crecimiento y decrecimiento, como en el apartado «comentar acotación, continuidad, crecimiento y decrecimiento» de la pregunta 5 de los modelos. Las gráficas de esos modelos no se pueden leer en el texto extraído; esta es una función propia descrita con coordenadas exactas.

Acotación: la imagen es {−1} ∪ (1, 4). Por abajo, ningún valor baja de −1 y g(1) = −1 se alcanza (punto relleno): mínimo absoluto −1 en x = 1. Por arriba, los valores se acercan a 4 sin llegar, porque (1, 4) es un punto hueco: 4 es cota superior y supremo, pero no hay máximo. g está acotada (superior e inferiormente).
Crecimiento: el segmento 1 sube: g es creciente en [−3, 1). El segmento 2 también sube: creciente en (1, 4]. No hay intervalos de decrecimiento.
Precisión: no se puede decir «creciente en todo [−3, 4]», porque g(0) = 3,5 y g(1) = −1: al pasar por x = 1 el valor baja. Por eso los intervalos se separan en el salto.
Comentario redactado: «g está definida en [−3, 4]; está acotada, con mínimo absoluto −1 en x = 1 y supremo 4, que no se alcanza. Es continua en [−3, 1) y en (1, 4], con una discontinuidad de salto en x = 1. Es creciente en [−3, 1) y en (1, 4]».

Variante autónoma

a) Calcula el dominio de h(x) = √(x + 1) / (x² − 4).

b) La gráfica de una función k está formada por los elementos de la tabla. Calcula su dominio, su imagen, los límites laterales en x = −1 y en x = 2, y estudia la continuidad en esos dos puntos.

Descripción de la gráfica de k
Elemento	Desde	Hasta	Expresión
Segmento 1	(−4, 1), punto relleno	(−1, −2), punto relleno	k(x) = −x − 3 si −4 ≤ x ≤ −1
Segmento 2	(−1, −2), mismo punto relleno	(2, 1), punto hueco	k(x) = x − 1 si −1 < x < 2
Segmento 3	(2, 1), punto hueco	(5, 4), punto hueco	k(x) = x − 1 si 2 < x < 5

c) Escribe un comentario de la función k que incluya su acotación (cotas, máximo o mínimo si existen) y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Mostrar solución de la variante

a) Raíz: x + 1 ≥ 0 ⟹ x ≥ −1 (incluido). Denominador: x² − 4 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2 y x ≠ −2. El −2 ya quedaba fuera por la raíz, así que solo hay que quitar el 2: Dom h = [−1, 2) ∪ (2, +∞). Comprobación: h(−1) = 0/(−3) = 0 existe.

Dominio de k: [−4, −1] ∪ (−1, 2) ∪ (2, 5) = [−4, 2) ∪ (2, 5). Ni el 2 ni el 5 tienen punto relleno.
Imagen: segmento 1, de 1 a −2, ambos incluidos: [−2, 1]; segmento 2: [−2, 1); segmento 3: (1, 4). Unión: [−2, 4). El valor 1 sí pertenece a la imagen, porque k(−4) = 1, aunque el punto (2, 1) sea hueco.
En x = −1: por la izquierda −(−1) − 3 = −2; por la derecha −1 − 1 = −2; k(−1) = −2. Los tres coinciden: k es continua en −1, aunque cambie la fórmula.
En x = 2: por ambos lados x − 1 → 1, así que lím_x→2 k(x) = 1 existe; pero k(2) no está definido. k no es continua en 2 (discontinuidad evitable).

c) Comentario orientativo propio:

Acotación: imagen [−2, 4). Mínimo absoluto −2 en x = −1 (punto relleno). Por arriba, los valores se acercan a 4 cuando x se acerca a 5, pero (5, 4) es hueco: 4 es supremo y no hay máximo absoluto. k está acotada. En x = −4 vale 1, que no es máximo absoluto porque después hay valores mayores.
Monotonía: decreciente en [−4, −1]; creciente en [−1, 2) y en (2, 5). En x = −1 cambia de decrecer a crecer: allí está el mínimo.
Criterio: se distinguen cota, supremo y máximo; se separan los intervalos en los puntos donde cambia el sentido o la función no está definida; se dice si los extremos de cada intervalo entran. Errores frecuentes: dar 4 como máximo, o escribir «crece en (−1, 5)» sin advertir que k(2) no existe.

Tres preguntas para comprobar sin ayuda

Práctica original sin puntuación automática; no es una pregunta oficial. Elige una opción y justifícala antes de abrir cada solución.

1. Dominio con logaritmo y cociente

¿Cuál es el dominio de f(x) = ln(x − 1)/(x − 3)?

[1, 3) ∪ (3, +∞)
(1, +∞)
(1, 3) ∪ (3, +∞)
(−∞, 3) ∪ (3, +∞)

Mostrar clave y feedback de la pregunta 1

C (correcta). El logaritmo exige x − 1 > 0, es decir, x > 1; el denominador exige x ≠ 3. Las dos condiciones a la vez dan (1, 3) ∪ (3, +∞).
A. Incluye x = 1, donde aparecería ln 0, que no existe.
B. Olvida que x = 3 anula el denominador.
D. Solo atiende al denominador y olvida la condición del logaritmo.

2. Punto hueco y punto relleno

En x = 2 la gráfica de una función tiene un punto hueco en (2, 5) y un punto relleno en (2, 1). Por los dos lados, la curva se acerca a la altura 5. ¿Qué afirmación es correcta?

f(2) = 5 y la función es continua en 2.
f(2) = 1, lím_x→2 f(x) = 5 y la función no es continua en 2.
f(2) no existe porque hay un punto hueco.
El límite no existe porque en x = 2 aparecen dos puntos.

Mostrar clave y feedback de la pregunta 2

B (correcta). El punto relleno da el valor, f(2) = 1; los valores cercanos se acercan a 5 por los dos lados, así que el límite existe y vale 5. Como 1 ≠ 5, no es continua.
A. El punto hueco (2, 5) no pertenece a la gráfica: no da el valor de la función.
C. Existe un punto relleno con x = 2; el hueco no anula ese valor.
D. El límite depende de los valores cercanos, que coinciden por ambos lados; el punto aislado no lo cambia.

3. Justificar la continuidad

Sea p(x) = x + 1 si x < 1 y p(x) = 3x − 1 si x ≥ 1. ¿Cómo se justifica correctamente lo que ocurre en x = 1?

Basta con que el dibujo parezca no tener saltos.
No es continua, porque la fórmula cambia en x = 1.
Es continua solo porque p(1) existe.
Límite por la izquierda 1 + 1 = 2, por la derecha 3·1 − 1 = 2 y p(1) = 2: es continua en x = 1.

Mostrar clave y feedback de la pregunta 3

D (correcta). Se comprueban las tres condiciones con las expresiones: los dos límites laterales valen 2 y coinciden con p(1) = 2.
A. Un dibujo puede ser impreciso; la continuidad se justifica con límites y valores.
B. Cambiar de fórmula no implica salto: aquí los dos tramos se unen en (1, 2).
C. Que exista p(1) es solo una de las tres condiciones.

Para recordar

√A: A ≥ 0 (corchete) · ln A: A > 0 (paréntesis) · N/D: D ≠ 0 (se quita el punto). Se exigen todas a la vez.
Relleno = pertenece; hueco = no pertenece. Continuidad en a: existe f(a), los límites laterales existen, son iguales y coinciden con f(a).
Comentario de una gráfica: acotación (cotas, supremo, ¿se alcanza? ⟹ máximo o mínimo), continuidad y crecimiento/decrecimiento por intervalos, separando en saltos y cambios de sentido.

Criterio de logro: escribes cada condición, das el dominio con los extremos bien marcados, obtienes dominio e imagen de una gráfica descrita, justificas la continuidad con límites laterales, sin apoyarte solo en el aspecto del dibujo, y redactas la acotación y la monotonía por intervalos.

Repasa la idea clave en Memorizar.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Origen: orientativo (migrada de v0.9); ampliación de dominio y lectura de gráficas añadida el 23/10/2026. Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.