1 (cont.). Ecuaciones, sistemas y geometría del plano · lección 14 de 25
M07 Ecuaciones de segundo grado
La idea
Entender el concepto
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. El discriminante Δ = b² − 4ac determina cuántas soluciones reales hay: positivo, dos; cero, una doble; negativo, ninguna real.
Paso a paso
Método paso a paso
- Ordena en ax² + bx + c = 0 e identifica a, b y c con su signo.
- Calcula Δ = b² − 4ac.
- Si Δ ≥ 0, aplica x = (−b ± √Δ)/(2a).
- Simplifica cada solución.
- Comprueba sustituyendo en la original.
Ejemplo
Ejemplo resuelto
x² − 5x + 6 = 0. a=1, b=−5, c=6. Δ=25−24=1. x=(5 ± 1)/2, por tanto x=3 o x=2. Ambas verifican la igualdad.
Cuidado
Error habitual y cómo corregirlo
Error: olvidar el signo negativo de b o el paréntesis del denominador 2a.
Tu turno · enunciado
Ejercicio autónomo
Resuelve x² − 4x + 3 = 0.
Solución
Solución de contraste (consultar después)
Mostrar solución orientativa
a=1,b=−4,c=3; Δ=16−12=4; x=(4±2)/2 ⇒ x=3 o x=1.
Chuleta para el examen
Chuleta integrada
Δ = b²−4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a).
Signo de una expresión de segundo grado y de un producto de dos
Objetivo: razonar para qué valores de x es positiva o negativa una expresión ax² + bx + c y, después, un producto de dos de ellas, con una tabla de signos. Es el tipo de tarea de la pregunta 1 (apartados b a d) del modelo de Matemáticas Especiales de 2025; los ejemplos resueltos son propios.
Bases previas: raíces con la fórmula de esta lección · M15 Intervalos · M15 · Desigualdades con fracciones · M00A Sacar factor común.
Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Practicar en el entrenador (pregunta 1)
Bases: el signo depende de a y de las raíces
- Si ax² + bx + c tiene dos raíces reales r₁ < r₂, se escribe a(x − r₁)(x − r₂). Con a > 0 (parábola hacia arriba) es positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas; con a < 0 ocurre al revés.
- Si el discriminante b² − 4ac es negativo, no hay raíces reales: la expresión tiene siempre el signo de a.
- Regla de los signos: un producto es positivo si sus dos factores tienen el mismo signo y negativo si tienen signos distintos. Vale cero donde se anula algún factor.
- > y < excluyen las raíces; ≥ y ≤ las incluyen.
Método: tabla de signos
- Calcula las raíces de cada factor por separado (fórmula de segundo grado o factor común).
- Ordena todas las raíces en la recta: son las fronteras. Con dos factores de dos raíces cada uno puede haber hasta cuatro.
- Haz una fila por factor y una para el producto. En cada tramo, pon el signo de cada factor (por la regla anterior o sustituyendo un valor del tramo).
- Multiplica los signos de cada columna y elige los tramos que pide la desigualdad. Decide si las fronteras entran.
- Comprueba con un valor de un tramo elegido y otro de un tramo descartado.
Errores frecuentes
- Pensar que el producto es positivo donde cada factor «suele» serlo, sin cruzar los signos tramo a tramo.
- Olvidar el signo de a: −x² + 3x + 4 es positiva entre sus raíces, no fuera.
- Ordenar mal las fronteras cuando se mezclan las de los dos factores.
- Incluir las raíces en una desigualdad estricta, o dejarlas fuera con ≥.
- Ante un factor sin raíces reales, buscar fronteras que no existen: solo aporta su signo constante.
Ejemplo resuelto
Enunciado. a) ¿Para qué valores es x² − 9 > 0? b) ¿Y −x² + 3x + 4 > 0? c) Razona para qué valores se cumple (x² − 9)(−x² + 3x + 4) ≥ 0.
- a) x² − 9 = 0 ⟹ x = −3 o x = 3. Con a = 1 > 0 es positiva fuera: (−∞, −3) ∪ (3, +∞). Comprobación: x = 4 da 7 > 0; x = 0 da −9.
- b) −x² + 3x + 4 = 0 ⟺ x² − 3x − 4 = 0 ⟹ x = (3 ± √25)/2, es decir, x = −1 o x = 4. Con a = −1 < 0 es positiva entre las raíces: (−1, 4). Comprobación: x = 0 da 4 > 0; x = 5 da −6.
- c) Fronteras ordenadas: −3, −1, 3, 4.
| Tramo | (−∞, −3) | (−3, −1) | (−1, 3) | (3, 4) | (4, +∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| x² − 9 | + | − | − | + | + |
| −x² + 3x + 4 | − | − | + | + | − |
| Producto | − | + | − | + | − |
- Se piden los tramos positivos y, por ser ≥, también las cuatro fronteras: [−3, −1] ∪ [3, 4].
- Comprobación: x = −2 da (−5)(−6) = 30 ≥ 0; x = 3,5 da 3,25 · 2,25 = 7,3125 ≥ 0; x = 0 da (−9) · 4 = −36 (descartado); x = 5 da 16 · (−6) = −96 (descartado).
Variante autónoma
a) Razona para qué valores se cumple (x² − x − 6)(x² − 16) < 0.
b) Razona para qué valores se cumple (x² + 2x + 5)(x² − 4) ≤ 0.
Mostrar solución razonada de la variante
- a) x² − x − 6 = 0 ⟹ x = −2 o x = 3 (a > 0: negativa entre ellas). x² − 16 = 0 ⟹ x = ±4 (negativa entre −4 y 4). Fronteras: −4, −2, 3, 4. Signos del producto por tramos: +, −, +, −, +. Con < se toman los negativos sin fronteras: (−4, −2) ∪ (3, 4). Comprobación: x = −3 da 6 · (−7) = −42 < 0; x = 0 da (−6)(−16) = 96 (descartado).
- b) x² + 2x + 5 tiene discriminante 4 − 20 = −16 < 0: no tiene raíces y es siempre positiva. El signo del producto es el de x² − 4, negativa entre −2 y 2. Con ≤ entran las raíces: [−2, 2]. Comprobación: x = 0 da 5 · (−4) = −20 ≤ 0; x = 3 da 20 · 5 = 100 (descartado).
Criterio: raíces de cada factor, fronteras ordenadas, tabla con una fila por factor, extremos según < o ≤ y una comprobación numérica. Error que se detecta aquí: en b), inventar fronteras para el factor sin raíces reales.
Contraste con el modelo 2025
Pregunta 1, apartados b, c y d, del modelo de abril de 2025 (texto extraído del PDF). Solución orientativa propia, no corrección oficial.
- −x² − 2x + 15 > 0: raíces −5 y 3, a < 0 ⟹ (−5, 3).
- x² − 36 > 0: raíces ±6, a > 0 ⟹ (−∞, −6) ∪ (6, +∞).
- (−x² − 2x + 15)(x² − 36) > 0: fronteras −6, −5, 3, 6; signos −, +, −, +, − ⟹ (−6, −5) ∪ (3, 6). Comprobación: x = −5,5 da 24,4375 > 0 y x = 0 da −540.
Para recordar
- a > 0: positiva fuera de las raíces; a < 0: positiva entre ellas; sin raíces reales: signo de a siempre.
- Producto: fronteras de los dos factores ordenadas, una fila por factor, multiplicar signos por columna.
Repasa la idea clave en Memorizar y la fórmula en Memorizar · ecuación de segundo grado.
Comprueba lo que sabes
Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.
Origen: orientativo (migrada de v0.9). Material didáctico propio, no es una pregunta oficial.