Temario
Las lecciones, en su orden de estudio, para comprender las bases y aprender el método de resolución.
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Matemáticas Especiales
Específica de Ingeniería y Arquitectura, Ciencias, Ciencias de la Salud
Clases: miércoles 18:30–20:30 (Grupo 2, Aula 8) · Ver el horario
Web de estudiante para estudiantes. No es oficial ni está relacionada con la ULPGC.
Cómo estudiar esta asignatura
Empieza por las bases y avanza hasta reconocer qué te pide cada ejercicio. Usa estos tres recorridos según lo que necesites hoy.
Memorizar
Conceptos importantes, explicaciones, ejemplos, tarjetas y esquemas para repasar antes de practicar.
Práctica
Elige un tema o trabaja con ejercicios tipo examen. Puedes activar una cuenta atrás orientativa.
El examen, materiales y fuentes de la asignatura
El examen: modelos y preparación
Modelo oficial de 2026
Referencia histórica identificada. Consulta sus condiciones y distingue este modelo de tu examen actual.
Formato de este modelo: Modelo 1 de marzo de 2026: seis preguntas de desarrollo con apartados sobre desigualdades/problemas, rectas, trigonometría, progresiones, funciones y cálculo diferencial/integral.
- Cada apartado muestra su puntuación en el documento; no hay un valor único para todos los ejercicios.
- Los seis bloques del modelo 1 de 2026 suman 1,25; 1,5; 1,5; 1,75; 1,75 y 2,25 puntos, respectivamente.
- La última página incluye un formulario de apoyo con derivadas, progresiones y trigonometría.
- En el PDF examinado no se ha localizado una instrucción que confirme el permiso de calculadora. Que un ejercicio sea trigonométrico no demuestra ese permiso.
Paquete oficial de 2026: Consultar los exámenes oficiales en ZIP (nueva pestaña). Dentro del ZIP, busca Matemáticas Especiales Modelo 1.pdf.
Índice oficial de exámenes (nueva pestaña) · Paquete histórico de comparación (nueva pestaña)
Contraste realizado: Matemáticas Especiales 2025.pdf conserva seis bloques y formulario. El reparto de 2025 es 1,5; 1,5; 1,5; 2; 1,25 y 2,25 puntos: cambia con respecto al modelo 1 de 2026. Por tanto, ni una guía antigua ni un entrenador temático deben imponer un baremo fijo al próximo examen.
- La práctica de un único apartado no sustituye representación gráfica, problemas de progresiones, dominio ni cálculo de áreas del documento completo.
- Las fórmulas extraídas del PDF pueden presentar caracteres duplicados o dañados: las expresiones de este apartado se cotejaron visualmente con la página 6.
- El formulario y el reparto corresponden al modelo histórico, sin confirmación automática para 2026/27.
Fuente comprobada el 2026-10-20. No acredita el formato ni el programa de otra convocatoria.
Guías y orientaciones anteriores
Estas referencias conservan las fechas y el alcance de sus documentos. Las instrucciones del modelo de 2026 son las del bloque anterior; confirma las condiciones de tu próximo examen con el profesorado.
Referencia histórica o del aula; confirmar el curso actualSeis bloques con apartados en los modelos de 2025 y 2026 consultados. Se repiten tipos de contenido, aunque cambian los ejercicios, sus apartados y la puntuación. Es un patrón histórico observado, no una garantía. El propio examen incluye un formulario de derivadas, progresiones y trigonometría.
| Parte | Qué piden | Puntos |
|---|---|---|
| 1 | Ecuaciones e inecuaciones (valor absoluto, segundo grado) y un problema para plantear | 1,25 |
| 2 | Rectas: ecuación, representación, paralelas o perpendiculares, punto de corte | 1,5 |
| 3 | Triángulos y trigonometría: Pitágoras y problemas de rampas, alturas o sombras | 1,5 |
| 4 | Progresiones aritméticas y geométricas en problemas reales; término general y suma | 1,75 |
| 5 | Funciones: composición, dominio y comentario de una gráfica (acotación, continuidad, crecimiento) | 1,75 |
| 6 | Derivadas e integral: recta tangente, máximos y mínimos, crecimiento en un punto, área entre curvas | 2,25 |
- Puntos del modelo 1 de 2026. El reparto exacto varía algo cada año (una pregunta puede valer de 1 a 2,25), pero los temas se mantienen.
- La guía de 2018/19 hablaba de 6 a 8 preguntas; en los modelos de 2025 y 2026 consultados hay 6, y el recuento anterior de esta web anotó 7 en 2020 y 2023, así que el número puede variar: compruébalo en el enunciado.
- No consta en los exámenes si se permite calculadora: pregúntalo (la trigonometría la necesita).
Relación entre los contenidos y nuestras lecciones
Referencia histórica o del aula; confirmar el curso actual Fuente: material del aula (campus virtual de la ULPGC)Organizado según los seis bloques de los modelos históricos de 2025 y 2026 consultados; comprueba siempre el enunciado de tu convocatoria.
- 0. Propiedades de las operaciones con números reales (la hoja de la primera clase, propiedades 1 a 26)Antes de todo lo demásM00AM00BM00CM00DM00EM00F
- Base: operaciones, fracciones, potenciasNecesario para todo lo anteriorM02M03M05M19
- P1 Ecuaciones e inecuaciones; problemasValor absoluto y segundo gradoM01M06M07M15M15 desigualdades del examenM07 signos de un productoEntrenar pregunta 1
- P2 RectasM16M08M16 dos rectas en un ejercicioEntrenar pregunta 2
- P3 Triángulos y trigonometríaM10M10 foco simétricoEntrenar pregunta 3
- P4 Progresiones aritméticas y geométricasTambién interés compuestoM17M17 en contextoM04Entrenar pregunta 4
- P5 Funciones: dominio, composición y gráficasM09M09 dominio y gráficaM18M11Entrenar pregunta 5
- P6 Derivadas e integralesM12M13M14M14 área y signoM12 producto, cociente y cadenaM13 dos tramos cuadráticosEntrenar pregunta 6
Material y fuentes
Los apuntes y exámenes que sube el profesorado están en el campus virtual de la ULPGC y solo puede verlos el alumnado matriculado. Esta web no los copia ni los enlaza.
Glosario de Matemáticas Especiales (10 términos)
Preguntas frecuentes
¿Cómo era el modelo oficial de 2026?
Modelo 1 de marzo de 2026: seis preguntas de desarrollo con apartados sobre desigualdades/problemas, rectas, trigonometría, progresiones, funciones y cálculo diferencial/integral.
¿Cómo se puntuaba ese modelo?
Cada apartado muestra su puntuación en el documento; no hay un valor único para todos los ejercicios. Los seis bloques del modelo 1 de 2026 suman 1,25; 1,5; 1,5; 1,75; 1,75 y 2,25 puntos, respectivamente. La última página incluye un formulario de apoyo con derivadas, progresiones y trigonometría. En el PDF examinado no se ha localizado una instrucción que confirme el permiso de calculadora. Que un ejercicio sea trigonométrico no demuestra ese permiso.
¿El modelo de 2026 confirma el programa de la convocatoria 2026/27?
No. Es una referencia histórica. Confirma con el profesorado el programa y las condiciones de tu convocatoria. La práctica de un único apartado no sustituye representación gráfica, problemas de progresiones, dominio ni cálculo de áreas del documento completo. Las fórmulas extraídas del PDF pueden presentar caracteres duplicados o dañados: las expresiones de este apartado se cotejaron visualmente con la página 6. El formulario y el reparto corresponden al modelo histórico, sin confirmación automática para 2026/27.
Ruta de estudio
Orden basado en: Guía didáctica de Matemáticas Especiales 2018/19 (histórica) y la hoja de propiedades de la primera clase. Orden de la guía de 2018: números → límites y progresiones → trigonometría → funciones → derivadas → integrales. Antes, la hoja de propiedades con la que empezó el curso. Dentro de cada tema, de lo básico a lo de nivel de examen. Con «siguiente» al final de cada lección sigues este mismo orden.
Empezar por la primera lección
0. Propiedades de las operaciones (hoja de la primera clase)
- M00A Propiedades 1, 2 y 6: distributiva y sacar factor comúnBase
- M00B Propiedades 3, 4 y 5: simplificar, multiplicar y dividir fraccionesBase
- M00C Propiedades 7, 8 y 9: sumar y restar fracciones (m.c.m.)Base
- M00D Propiedades 10 a 17: potenciasBase
- M00E Propiedades 18 a 23: raíces como potenciasBase
- M00F Propiedades 24 a 26: identidades notablesBase
1. Números y operaciones
1 (cont.). Ecuaciones, sistemas y geometría del plano
2. Sucesiones y progresiones
- M17 Sucesiones y progresionesNivel prueba
3. Trigonometría
4. Funciones, logaritmos y exponenciales; límites y continuidad
5. Derivadas
- M12 Derivadas: reglas y significadoNivel prueba
- M13 Máximos y mínimos sencillosNivel prueba
6. Integrales y áreas
- M14 Integrales inmediatas y áreasNivel prueba
Memorizar
Repasa las ideas clave, por qué se aplican y sus ejemplos. Debajo encontrarás las tarjetas y los esquemas de esta asignatura.
Definiciones y referencias para recordar
Lee cada idea, su contexto y su ejemplo; después comprueba si puedes recordarla. Comprender el contexto y practicar sigue siendo necesario. Las tarjetas anteriores y su progreso se conservan debajo.
Simplificar factores, no sumandos
Respuesta: La distributiva permite escribir a(b+c)=ab+ac. En una fracción se pueden cancelar factores comunes no nulos del numerador y denominador completos; no se cancelan términos que solo forman parte de una suma.
Cuándo y por qué: Conserva las restricciones del denominador original aunque la expresión simplificada deje de mostrarlas.
Ejemplo: (2x+4)/2=x+2; (x²−1)/(x−1)=x+1 solo para x≠1.
Ecuación de segundo grado
Respuesta: Para ax²+bx+c=0 con a≠0, las raíces reales se calculan con x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) cuando el discriminante es no negativo.
Cuándo y por qué: Si el discriminante es negativo, no hay raíces reales; si vale cero, hay una raíz real doble. Un producto igual a cero permite resolver por factores cuando estos están disponibles.
Ejemplo: x²−4x+3=(x−1)(x−3)=0 da x=1 y x=3.
El dominio se comprueba antes de operar
Respuesta: En funciones reales, los denominadores deben ser distintos de cero, el argumento de un logaritmo debe ser positivo y el radicando de una raíz de índice par debe ser no negativo. En una gráfica, un punto relleno pertenece a la función y uno hueco no; dominio e imagen se leen tramo a tramo, incluidos los puntos aislados.
Cuándo y por qué: Las condiciones se aplican simultáneamente. Una transformación algebraica puede ocultar restricciones pero no autoriza a perderlas. La continuidad en a exige que existan f(a) y los dos límites laterales y que los tres coincidan; se justifica con las expresiones o con coordenadas exactas, no con el aspecto de un dibujo.
Ejemplo: Para f(x)=√(x−2)/(x−3), el dominio es [2,3)∪(3,+∞). Para √(4−x)/ln(x+2) se exige x≤4, x>−2 y x≠−1 (ln 1=0): el dominio es (−2,−1)∪(−1,4].
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Respuesta: Para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, sen=cateto opuesto/hipotenusa, cos=cateto contiguo/hipotenusa y tan=opuesto/contiguo. Los catetos cumplen a²+b²=h².
Cuándo y por qué: Identifica el ángulo de referencia y verifica grados o radianes antes de usar la calculadora. Estas razones no identifican automáticamente lados de un triángulo no rectángulo.
Ejemplo: Con catetos 3 y 4 e hipotenusa 5, el seno del ángulo opuesto al cateto de 3 vale 3/5.
Aritmética suma; geométrica multiplica
Respuesta: En una progresión aritmética, an=a1+(n−1)d y Sn=n(a1+an)/2. En una geométrica, an=a1·r^(n−1) y, si r≠1, Sn=a1(r^n−1)/(r−1). Si r=1, Sn=n·a1.
Cuándo y por qué: n cuenta términos, no saltos. Una suma geométrica infinita solo converge en el caso habitual |r|<1; no uses una fórmula de suma infinita para cualquier razón. Una geométrica no siempre crece: con 0<r<1 y términos positivos decrece, y con r<0 alterna el signo; perder un 20 % es r=0,8. Con dos términos no consecutivos se plantea un sistema con an=am+(n−m)d o an=am·r^(n−m).
Ejemplo: En 5, 8, 11, 14, la diferencia es 3 y el cuarto término es 5+3·3=14. Si en una aritmética a3=10 y a8=25, hay 5 saltos: 5d=15, d=3 y a1=4.
Derivada y área: interpretar antes de calcular
Respuesta: f′(a) es la pendiente de la tangente cuando existe. Un punto con f′(a)=0 es candidato a extremo, pero esa igualdad no basta para demostrar un máximo o mínimo. Una integral definida es un balance con signo; un área geométrica exige sumar áreas no negativas.
Cuándo y por qué: Para estudiar extremos comprueba el cambio de signo de f′ o un criterio suficiente apropiado. Si una gráfica cruza el eje, divide el intervalo antes de calcular su área.
Ejemplo: f(x)=x³ tiene f′(0)=0 y no presenta máximo ni mínimo en 0. Entre −1 y 1, la integral de x es 0, pero el área entre la recta y el eje es 1.
Integral con signo frente a área geométrica
Respuesta: La integral definida F(b)−F(a) suma con signo: los tramos bajo el eje restan. El área entre la curva y el eje se obtiene dividiendo el intervalo en los cortes con el eje y sumando el valor absoluto de la integral de cada tramo.
Cuándo y por qué: Antes de calcular un área, resuelve f(x)=0, quédate con los cortes dentro del intervalo y estudia el signo de cada tramo. Tomar el valor absoluto solo al final no deshace la compensación. Entre dos curvas se integra la de arriba menos la de abajo, dividiendo donde se cruzan.
Ejemplo: Para f(x)=x²−4x+3 en [0,4], con cortes en 1 y 3: los tramos valen 4/3, −4/3 y 4/3. La integral es 4/3 y el área es 4.
Desigualdades: m.c.m., sentido y tabla de signos
Respuesta: En una desigualdad lineal con fracciones se multiplica cada término por el m.c.m. (positivo, no cambia el sentido); al multiplicar o dividir por un negativo, el sentido se invierte. Una doble desigualdad se trabaja en los tres miembros. Para un producto de expresiones de segundo grado se ordenan todas las raíces y se multiplica el signo de cada factor tramo a tramo.
Cuándo y por qué: < y > excluyen los extremos; ≤ y ≥ los incluyen. Una expresión ax²+bx+c sin raíces reales tiene siempre el signo de a. Para comprobar si un número es solución basta sustituirlo en los dos lados y comparar; no hace falta resolver.
Ejemplo: (3x−1)/2−(x+2)/3≤4 ⟹ 7x−7≤24 ⟹ x≤31/7. (x²−9)(−x²+3x+4)≥0: fronteras −3, −1, 3, 4 ⟹ [−3,−1]∪[3,4].
Dos rectas: pendiente, perpendicular, corte y dibujo
Respuesta: Se despeja y para leer la pendiente m. Con ambas pendientes finitas, dos rectas son perpendiculares si m₁·m₂=−1. La recta por P(x₁,y₁) con pendiente m es y−y₁=m(x−x₁). El punto de corte es la solución del sistema y se comprueba en las dos ecuaciones.
Cuándo y por qué: Para m finita y no nula, la perpendicular tiene pendiente −1/m. La inversa sin cambiar el signo no da perpendicular: 2 y 1/2 tienen producto 1. La perpendicular a una horizontal es vertical, sin pendiente finita. Para representar bastan dos puntos calculados con la ecuación; el corte del dibujo debe coincidir con el calculado.
Ejemplo: y=−2x+9 y x−2y+3=0 (y=x/2+3/2): (−2)·(1/2)=−1, perpendiculares; corte (3,3).
Producto, cociente y cadena para decidir si crece
Respuesta: (f·g)′=f′g+fg′; (f/g)′=(f′g−fg′)/g²; (ln u)′=u′/u; (sen u)′=u′·cos u; (cos u)′=−u′·sen u, donde u es la función interior. Si f′(a)>0, f es creciente en x=a; si f′(a)<0, decreciente.
Cuándo y por qué: La derivada interior no se puede omitir: (cos 5x)′=−5 sen 5x. Al evaluar seno y coseno de una derivada, la calculadora va en radianes; los ángulos de triángulos se trabajan en grados. El punto debe pertenecer al dominio.
Ejemplo: f(x)=(3x²−7x)·cos(5x): f′(x)=(6x−7)cos 5x−5(3x²−7x)sen 5x y f′(10)≈352,874>0 en radianes, creciente.
Tarjetas para comprobar lo que recuerdas
Tres tarjetas cada vez. Piensa la respuesta, dale la vuelta y marca «Me la sé»: pasa a la línea de palabras ya estudiadas y entra una nueva. Pulsa una palabra de la línea para repasarla. 61 tarjetas.
Esquemas
Pulsa un esquema para ir a la lección o al ejercicio donde se explica.
- |x − 3| < 5 significa «x está a menos de 5 unidades del 3»: el intervalo abierto −2 < x < 8.
- x² − 5x + 6 > 0: la parábola abre hacia arriba y corta el eje en 2 y 3. Es positiva fuera de las raíces (x < 2 o x > 3) y negativa entre ellas.
- La pendiente es lo que sube la recta por cada unidad que avanza: de A(1, 2) a B(3, 8) avanza 2 y sube 6, así que m = 6/2 = 3 y la recta es y = 3x − 1.
- Las paralelas tienen la misma pendiente (m = 2). La perpendicular tiene la pendiente inversa y cambiada de signo: m = −1/2.
- En el triángulo rectángulo: seno = opuesto / hipotenusa, coseno = contiguo / hipotenusa, tangente = opuesto / contiguo. En una rampa, el tramo horizontal es el contiguo y la altura es el opuesto.
- Aritmética: cada término suma lo mismo (+3), crece en línea recta. Geométrica: cada término se multiplica por lo mismo (×2), crece cada vez más deprisa.
- Al comentar una gráfica: crece donde sube de izquierda a derecha, decrece donde baja; es continua si se dibuja sin levantar el lápiz (aquí hay un salto en x = 4); está acotada si no supera un techo ni baja de un suelo.
- Donde f′(x) = 0 la tangente es horizontal: ahí están el máximo (x = 1) y el mínimo (x = 3) de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Entre medias, f′ es negativa y la función decrece.
- El área entre dos curvas es la integral de «la de arriba menos la de abajo»: entre f(x) = −x² + 8x y g(x) = x, de 0 a 7, es ∫(−x² + 7x) dx = 343/6 ≈ 57,17.
Esquema para organizar el repaso
Sigue estas relaciones y vuelve a la lección cuando necesites la explicación completa.
- Identifica el objeto: ecuación, desigualdad, función, sucesión o problema geométrico. · lección M15
- Anota dominio, signos y restricciones antes de transformar expresiones. · lección M09
- Selecciona un procedimiento y escribe las igualdades o criterios que lo justifican. · lección M01
- Sustituye la solución en el problema original y comprueba su interpretación gráfica o numérica. · lección M16
Práctica
Cuenta atrás opcional
Duración de práctica orientativa; no es el tiempo oficial del examen. No entrega ni borra tus respuestas al terminar.
Sin cuenta atrás
Test de repaso por tema
Preguntas de las lecciones (51 distintas). No se repiten hasta que salen todas; después se barajan para otra vuelta, y las que fallas vuelven a salir antes.
Pregunta real de 2026
Pregunta o extracto identificado del documento oficial. Consulta el original para ver la redacción, figuras y contexto completos. Nuestra solución es orientativa, no una plantilla oficial de corrección.
Documento: Matemáticas Especiales Modelo 1.pdf · Pregunta: Pregunta 6, apartado b); página 6 del PDF
Puntuación indicada en la referencia: 0,75 puntos en el apartado 6.b del modelo 1 de 2026.
Apartado histórico transcrito, con notación matemática normalizada: Calcular la ecuación de la recta tangente a f(x)=−x²+2x+8 en x=2 y representarla sobre la gráfica anterior.
Mostrar nuestra solución orientativa
- El punto de tangencia es (2,f(2)). Calculamos f(2)=−4+4+8=8, de modo que el punto es (2,8).
- Derivamos la función: f′(x)=−2x+2. La pendiente en x=2 es f′(2)=−2.
- La ecuación punto-pendiente da y−8=−2(x−2); al desarrollar, y=−2x+12.
- Para representar, dibuja la parábola f y marca el punto (2,8). La tangente pasa también por (3,6) y (0,12), lo que permite trazarla sin depender de una imagen previa.
- Comprobación: al sustituir x=2 en la recta se obtiene 8. Además, f(x)−(−2x+12)=−(x−2)²≤0: la parábola queda bajo la tangente y ambas coinciden en x=2.
Resultado y explicación: La tangente es y=−2x+12 y pasa por (2,8), con pendiente −2. La referencia del enunciado a la gráfica anterior remite al apartado 6.a del original, que representa esa misma función.
Repasar el método en la lección M12
Paquete oficial de 2026: Consultar los exámenes oficiales en ZIP (nueva pestaña). Dentro del ZIP, busca Matemáticas Especiales Modelo 1.pdf.
Práctica original resuelta
Ejercicio propio orientativo. No está extraído de un examen oficial. Inténtalo antes de abrir la solución.
Una parábola, sus extremos y una tangente
Actividad original orientativa. Sea f(x)=x²−8x+7, definida para todos los números reales. Calcula sus cortes con el eje x, determina y justifica su mínimo, y obtiene la ecuación de la recta tangente en x=2.
Mostrar solución razonada
- Cortes con el eje: x²−8x+7=(x−1)(x−7); por tanto, los puntos de corte son (1,0) y (7,0). El dominio es todo R porque f es polinómica.
- Derivada: f′(x)=2x−8. La condición f′(x)=0 da x=4; no basta aún con nombrarlo extremo.
- Justificación: f′ es negativa para x<4 y positiva para x>4; la función decrece y luego crece. El mínimo es global y f(4)=16−32+7=−9.
- Tangente en x=2: f(2)=4−16+7=−5 y f′(2)=−4. La forma punto-pendiente es y−(−5)=−4(x−2), es decir y=−4x+3.
- Comprobación: la tangente pasa por (2,−5). La forma f(x)=(x−4)²−9 confirma el mínimo y la simetría entre las raíces 1 y 7.
Resultado y explicación: Cortes: (1,0) y (7,0). Mínimo global: (4,−9). Tangente en x=2: y=−4x+3.
Ejercicios con números nuevos cada vez
Cada ejercicio se genera al momento: nunca se acaban ni se repiten igual. Elige un tipo o mézclalos; la web calcula la solución y te enseña los pasos.
Ejercicios tipo examen
- Entrenador del examenEjercicios del mismo tipo que cada pregunta del examen, con teoría breve y corrección.
Preparación con modelos de examen
Consulta el formato, las normas y el documento oficial identificado en la información del examen. Una pregunta histórica resuelta no constituye un examen completo.
Trabajar la pregunta histórica y su solución Hacer el ejercicio propio resuelto
Abrir el entrenador de ejercicios tipo examen. Los ejercicios de desarrollo se revisan con las soluciones y criterios, sin nota automática.
Los simulacros propios y las selecciones de preguntas se identifican como práctica. No se presenta una selección como reproducción íntegra de un examen oficial.