5. Álgebra y análisis · lección 11 de 11

MS11 Derivadas y optimización

Prueba

Objetivo: Usar la derivada como tasa de cambio y pendiente para encontrar y justificar el máximo o mínimo de una función en un intervalo.

Bases

Qué necesitas recuperar

Pendiente y variación desde MS06: en una recta, cuánto cambia y por cada unidad de x.
Derivada: f′(x) es la pendiente de la recta tangente en x, es decir, la tasa de cambio instantánea. f′ > 0: la función crece; f′ < 0: decrece.
Reglas que usaremos: la derivada de una constante es 0; de x es 1; de xⁿ es n·xⁿ⁻¹; de a·f es a·f′; de una suma, la suma de derivadas. Ejemplo: (−x² + 12x − 20)′ = −2x + 12.
Parábolas desde MS10 e inecuaciones desde MS09 para estudiar signos.

Señales

Qué te piden: valor, tasa u optimizador

Valor de la función («¿cuánto beneficio con 4 kg?»): sustituir en B(x).
Tasa de cambio («¿a qué ritmo cambia?»): f′ en ese punto.
Optimizar («¿cuánto producir para que el beneficio sea máximo?»): buscar el x óptimo y después el valor óptimo. Son dos respuestas distintas.

Paso a paso

Método razonado

Define la variable, sus unidades y su dominio (por ejemplo 0 ≤ x ≤ 10).
Construye o identifica la función que se optimiza.
Deriva y resuelve f′(x) = 0 para obtener candidatos dentro del dominio.
Justifica con el signo de f′ a cada lado (+ → − máximo; − → + mínimo).
En un intervalo cerrado, compara también los extremos del intervalo.
Interpreta con unidades: el optimizador y el valor óptimo.

f′ = 0 no basta: f(x) = x³ tiene f′(0) = 0, pero crece a ambos lados de 0, así que en 0 no hay ni máximo ni mínimo.

🧮 Calculadora: úsala para evaluar expresiones con paréntesis, potencias y raíces, y conserva la precisión hasta el final. Comprueba en tu convocatoria qué modelos están permitidos; aquí no se indican secuencias de teclas.

Ejemplo

Ejemplo resuelto: maximizar un beneficio

Modelo ficticio y continuo: x son los kg producidos al día, 0 ≤ x ≤ 10, y el beneficio diario es B(x) = −x² + 12x − 20 euros.

Derivar: B′(x) = −2x + 12.
Candidato: −2x + 12 = 0 ⇒ x = 6, dentro de [0, 10].
Signo: B′(5) = 2 > 0 (crece) y B′(7) = −2 < 0 (decrece): máximo relativo en 6.
Comparar extremos:

Beneficio en el candidato y en los extremos del dominio
x (kg/día)	0	6	10
B(x) (€/día)	−20	16	0

Interpretar: el beneficio máximo es 16 €/día al producir 6 kg/día. El optimizador es 6 kg/día; el valor óptimo, 16 €/día.

Tu turno · enunciado

Variante autónoma

Minimiza C(x) = x² − 8x + 25 en el intervalo [0, 6]. Da el candidato, justifica con el signo de la derivada, compara con los extremos e indica el mínimo y dónde se alcanza.

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución razonada de la variante MS11

C′(x) = 2x − 8 = 0 ⇒ x = 4, dentro de [0, 6]. C′(3) = −2 < 0 y C′(5) = 2 > 0: cambio − → +, mínimo relativo.

C(0) = 25, C(4) = 16 − 32 + 25 = 9, C(6) = 36 − 48 + 25 = 13. El mínimo en [0, 6] es 9, alcanzado en x = 4.

Cuidado

Errores frecuentes y criterio de logro

Dar el candidato de f′ = 0 como extremo sin justificar el signo (contraejemplo: x³ en 0).
Responder solo «x = 6» cuando se pide el beneficio máximo (16 €), o al revés.
Olvidar el dominio o no comparar los extremos de un intervalo cerrado.
Derivar mal la constante: su derivada es 0.

Lo has logrado si defines dominio y unidades, derivas, justificas con signos, comparas extremos e interpretas el resultado.

Memoriza

Memoriza con sentido

Candidato (f′ = 0) → justificación (signo de f′) → comparación (extremos del intervalo) → interpretación (optimizador y valor, con unidades).
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; constante ⇒ 0; la derivada de una suma es la suma de derivadas.

Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales. Los modelos anteriores orientan la preparación; no confirman el formato ni el programa de 2026/27.

Construir el ingreso a partir de la demanda y maximizarlo

Objetivo: escribir el ingreso I(p) = p · q(p) cuando la cantidad vendida depende del precio, maximizarlo y responder exactamente lo que se pide: precio, cantidad o ingreso. Es la pregunta 8 del test de los modelos de 2026; ejemplos propios. La optimización de una función ya dada está en el ejemplo resuelto de esta lección; el equilibrio de mercado, en MS05.

Método

Variable: p en euros. Cantidad: q(p) en unidades. Dominio económico: p ≥ 0 y q(p) ≥ 0.
Ingreso = precio · cantidad: I(p) = p · q(p). Desarrolla el producto.
I′(p) = 0 da el candidato; justifica el máximo con el signo de I′ (+ antes, − después).
Calcula lo que se pida con el precio óptimo: la cantidad q(p) o el ingreso I(p). Responde con unidades y en el orden del enunciado.

Errores frecuentes

Maximizar q(p) en lugar de I(p): la cantidad es máxima a precio 0, con ingreso 0.
Dar el ingreso cuando se pide la cantidad, o al revés.
Confundir el precio óptimo con el ingreso máximo en una opción del test.

Ejemplo resuelto

Enunciado. A un precio de p euros se venden q = 80 − 4p unidades al día. Calcula el precio que maximiza el ingreso diario, la cantidad vendida y el ingreso máximo.

Dominio: q ≥ 0 ⟹ 0 ≤ p ≤ 20.
I(p) = p(80 − 4p) = 80p − 4p². I′(p) = 80 − 8p = 0 ⟹ p = 10.
I′(5) = 40 > 0 y I′(15) = −40 < 0: crece y luego decrece ⟹ máximo en p = 10 €.
Cantidad: q = 80 − 40 = 40 unidades. Ingreso: I(10) = 10 · 40 = 400 €/día.

Variante autónoma

Con q = 48 − 3p unidades semanales a precio p euros, calcula el precio que maximiza el ingreso semanal, la cantidad vendida y el ingreso máximo.

Mostrar solución razonada de la variante

Dominio 0 ≤ p ≤ 16. I(p) = 48p − 3p²; I′(p) = 48 − 6p = 0 ⟹ p = 8 € (I′ pasa de + a −). q = 48 − 24 = 24 unidades; I = 8 · 24 = 192 €/semana. Criterio: I = p · q construida, candidato justificado, cada magnitud con su unidad. Error típico: contestar 24 cuando se pide el precio.

Contraste con los modelos 2026 (test, pregunta 8)

Texto extraído de los PDF; resultados orientativos propios.

Modelo 1: q = 60 − 2p ⟹ I = 60p − 2p², I′ = 60 − 4p = 0 ⟹ p = 15 y q = 30.
Modelo 2: q = 30 − p ⟹ I = 30p − p², I′ = 30 − 2p = 0 ⟹ p = 15 e I máximo = 225 €.

Estudio completo de una función de tercer grado: crecimiento, máximo y mínimo locales

Objetivo: dar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y las coordenadas de los dos extremos locales de una cúbica. Es el ejercicio de desarrollo 1 de los modelos de 2025 y 2026; ejemplos propios. Para las raíces de f′ se usa la fórmula de segundo grado; no hacen falta producto, cociente ni cadena.

Ver el caso resuelto · Resolver una variante

Método

Deriva: (ax³ + bx² + cx + d)′ = 3ax² + 2bx + c.
Resuelve f′(x) = 0 con la fórmula general (o sacando factor común si se puede).
Tabla de signos de f′ con un valor de prueba en cada tramo: + ⟹ crece; − ⟹ decrece.
De + a − hay máximo local; de − a + hay mínimo local. Sus coordenadas: sustituye en f, con fracciones exactas.
Redacta: «f crece en …, decrece en …; máximo local en (…, …) y mínimo local en (…, …)».

Errores frecuentes

Sustituir el punto crítico en f′ (da 0) en lugar de en f para obtener la altura.
Dar solo la abscisa del extremo cuando se piden máximos y mínimos.
Decidir máximo o mínimo sin estudiar el signo de f′.
Redondear 2/3 a 0,67 antes de sustituir y arrastrar el error.

Ejemplo resuelto

Enunciado. Sea f(x) = x³ + 2x² − 4x + 1. a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Máximos y mínimos locales.

f′(x) = 3x² + 4x − 4. f′(x) = 0 ⟹ x = (−4 ± √(16 + 48))/6 = (−4 ± 8)/6 ⟹ x = 2/3 o x = −2.

Signo de f′(x) = 3x² + 4x − 4
Tramo	(−∞, −2)	(−2, 2/3)	(2/3, +∞)
Prueba	f′(−3) = 11	f′(0) = −4	f′(1) = 3
Signo y f	+ crece	− decrece	+ crece

a) Crece en (−∞, −2) y en (2/3, +∞); decrece en (−2, 2/3).
b) f(−2) = −8 + 8 + 8 + 1 = 9 ⟹ máximo local (−2, 9). f(2/3) = 8/27 + 8/9 − 8/3 + 1 = (8 + 24 − 72 + 27)/27 = −13/27 ⟹ mínimo local (2/3, −13/27).

Variante autónoma

Sea f(x) = 2x³ + x² − 4x + 3. Estudia su crecimiento y decrecimiento y calcula sus extremos locales.

Mostrar solución razonada de la variante

f′(x) = 6x² + 2x − 4 = 0 ⟹ x = (−2 ± √(4 + 96))/12 = (−2 ± 10)/12 ⟹ x = 2/3 o x = −1. Pruebas: f′(−2) = 16 > 0, f′(0) = −4 < 0, f′(1) = 4 > 0. Crece en (−∞, −1) y en (2/3, +∞); decrece en (−1, 2/3). f(−1) = −2 + 1 + 4 + 3 = 6 ⟹ máximo local (−1, 6); f(2/3) = 16/27 + 4/9 − 8/3 + 3 = 37/27 ⟹ mínimo local (2/3, 37/27). Criterio: f′ correcta, raíces con la fórmula, tabla de signos, coordenadas completas en f.

Contraste con los modelos (desarrollo, ejercicio 1)

Texto extraído de los PDF; soluciones orientativas propias, no corrección oficial.

2025: f(x) = x³ + 7x² − 5x + 1; f′ = 3x² + 14x − 5 = 0 ⟹ x = −5 o x = 1/3. Crece en (−∞, −5) y (1/3, +∞), decrece en (−5, 1/3); máximo local (−5, 76), mínimo local (1/3, 4/27).
2026 modelo 1: f(x) = 2x³ + 7x² − 12x + 1; f′ = 6x² + 14x − 12 = 0 ⟹ x = −3 o x = 2/3. Crece fuera de [−3, 2/3] y decrece entre ellos; máximo local (−3, 46), mínimo local (2/3, −89/27).
2026 modelo 2: f(x) = 4x³ − 3x² − 36x − 5; f′ = 12x² − 6x − 36 = 0 ⟹ x = −3/2 o x = 2. Máximo local (−3/2, 115/4), mínimo local (2, −57).

Para recordar

Ingreso: I(p) = p · q(p); I′ = 0 y signo; responder p, q o I según se pida.
Cúbica: f′ de grado 2 → fórmula → signos en tres tramos → extremos sustituyendo en f.

Repasa en Memorizar · ingreso y Memorizar · cúbicas.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Material preparado el 23/10/2026. Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales ni acreditan cobertura del programa vigente. Contrasta el alcance con tu asignatura.