5. Álgebra y análisis · lección 10 de 11
MS10 Parábolas: vértice, cortes y crecimiento
Objetivo: Describir una parábola: orientación, cortes con los ejes, vértice, crecimiento e imagen, comprobando cada dato.
Bases
Qué necesitas recuperar
Señales y método
Método razonado
- Orientación: a > 0 abre hacia arriba (mínimo); a < 0 hacia abajo (máximo).
- Corte con el eje y: x = 0 ⇒ (0, c).
- Cortes con el eje x: f(x) = 0 (factorizando); puede haber 2, 1 o ninguno; en los casos de esta ficha la factorización da dos raíces distintas.
- Vértice: completando el cuadrado, f(x) = a(x − h)² + k ⇒ vértice (h, k); equivale a h = −b/(2a) y k = f(h).
- Simetría: el eje x = h; los cortes con el eje x son simétricos respecto a él.
- Crecimiento e imagen: a cada lado del vértice; imagen desde k hacia el lado que abre.
- Comprobar sustituyendo cada punto. No deduzcas datos exactos de un dibujo a mano.
🧮 Calculadora: úsala para evaluar expresiones con paréntesis, potencias y raíces, y conserva la precisión hasta el final. Comprueba en tu convocatoria qué modelos están permitidos; aquí no se indican secuencias de teclas.
Ejemplo
Ejemplo resuelto: f(x) = −x² + 6x − 5
- Orientación: a = −1 < 0: abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
- Forma de vértice: −x² + 6x − 5 = −(x² − 6x + 9) + 9 − 5 = −(x − 3)² + 4.
- Cortes: f(0) = −5 ⇒ (0, −5). −x² + 6x − 5 = 0 ⇔ x² − 6x + 5 = 0 ⇔ (x − 1)(x − 5) = 0 ⇒ (1, 0) y (5, 0).
- Vértice y simetría: (3, 4); el eje x = 3 está a mitad entre 1 y 5.
- Crecimiento e imagen: dominio ℝ; crece en (−∞, 3), decrece en (3, +∞); imagen (−∞, 4].
| x | 0 | 1 | 3 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −5 | 0 | 4 | 0 | −5 |
Descripción de la gráfica: parábola que abre hacia abajo, sube desde la izquierda hasta (3, 4) y baja después; corta al eje x en 1 y 5 y al eje y en −5. Los puntos (0, −5) y (6, −5) son simétricos respecto a x = 3.
Tu turno · enunciado
Variante autónoma
Describe g(x) = x² − 4x + 3: orientación, cortes, vértice (completando el cuadrado), crecimiento e imagen. Comprueba cada punto sustituyendo.
Solución
Solución de contraste (consultar después)
Mostrar solución razonada de la variante MS10
a = 1 > 0: abre hacia arriba; el vértice es un mínimo. g(x) = (x − 2)² − 1 ⇒ vértice (2, −1).
Cortes: g(0) = 3 ⇒ (0, 3); (x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ (1, 0) y (3, 0), simétricos respecto a x = 2.
Decrece en (−∞, 2), crece en (2, +∞); imagen [−1, +∞). Comprobación: g(2) = 4 − 8 + 3 = −1. La gráfica es distinta de la del ejemplo por su orientación, no solo por las cifras.
Cuidado
Errores frecuentes y criterio de logro
- Dar solo la abscisa del vértice (x = 3) sin su altura (4), o al revés.
- Confundir los cortes con el eje x (raíces) con el corte con el eje y (ordenada en el origen c).
- Decir que la imagen es ℝ: una parábola tiene un extremo.
- Cambiar crecimiento y decrecimiento al cambiar la orientación.
Lo has logrado si explicas y compruebas cortes, vértice, intervalos de crecimiento, imagen y orientación.
Memoriza
Memoriza con sentido
- a > 0: abre arriba, vértice mínimo; a < 0: abre abajo, vértice máximo.
- Vértice: a(x − h)² + k ⇒ (h, k); también h = −b/(2a), k = f(h).
- Corte con y: (0, c). Cortes con x: raíces de f(x) = 0, simétricas respecto a x = h.
Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales. Los modelos anteriores orientan la preparación; no confirman el formato ni el programa de 2026/27.
Comprueba lo que sabes
Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.
Material preparado el 23/10/2026. Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales ni acreditan cobertura del programa vigente. Contrasta el alcance con tu asignatura.