5. Álgebra y análisis · lección 9 de 11

MS09 Polinomios e inecuaciones de segundo grado

Base / prueba

Objetivo: Resolver una inecuación de segundo grado factorizando, estudiando signos y justificando qué extremos se incluyen.

Bases

Qué necesitas recuperar

Polinomio, coeficiente y grado: en P(x) = x² − 5x + 6 los coeficientes son 1, −5 y 6, y el grado es 2 (mayor exponente).
Evaluar: sustituir x por un número respetando signos y potencias: P(1) = 1 − 5 + 6 = 2.
Distributiva para comprobar una factorización: (x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6.
Producto nulo: un producto vale 0 si y solo si algún factor vale 0.
Signos de un producto: (+)(+) y (−)(−) dan +; (+)(−) da −.
Intervalos: corchete [ ] incluye el extremo; paréntesis ( ) lo excluye; ∞ siempre con paréntesis. Los sistemas lineales siguen en MS05.
Operaciones inversas en una desigualdad: sumar o restar el mismo número a los dos lados la conserva; multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido: −2x < 6 ⇒ x > −3.

Factorizar x² + bx + c buscando dos números: si dos números suman b y multiplican c, la expresión es (x + primero)(x + segundo). Para x² − 5x + 6: −2 y −3 suman −5 y multiplican 6. Comprueba siempre multiplicando. Si no encuentras dos números que cumplan ambas condiciones, este método no basta; en el resuelto y la variante de abajo todos los casos se factorizan así. Para grado 4, raíces dobles o raíces fraccionarias, ve a Polinomios de grado 4 y a la fórmula de segundo grado. Operaciones con fracciones e identidades: antes del test.

Señales

Qué te piden: operar, igualar o comparar

Operar («simplifica», «desarrolla»): el resultado es otra expresión.
Ecuación («resuelve P(x) = 0»): el resultado son valores concretos (raíces).
Inecuación («P(x) ≤ 0», «¿para qué valores es positivo?»): el resultado es un conjunto de valores, normalmente intervalos. Las raíces solo marcan las fronteras.

Que aparezca un cuadrado no obliga a usar una fórmula: primero decide qué se pide.

Paso a paso

Método razonado

Pasa todo a un lado y simplifica: P(x) comparado con 0.
Factoriza y comprueba con la distributiva.
Halla las raíces con el producto nulo.
Divide la recta con las raíces y estudia el signo de cada factor en cada tramo (o evalúa un punto de prueba).
Elige los tramos con el signo pedido; incluye una frontera solo si la desigualdad admite el 0 (≤ o ≥).
Comprueba sustituyendo un valor de cada tramo y las raíces.

🧮 Calculadora: úsala para evaluar expresiones con paréntesis, potencias y raíces, y conserva la precisión hasta el final. Comprueba en tu convocatoria qué modelos están permitidos; aquí no se indican secuencias de teclas.

Ejemplo

Ejemplo resuelto: P(x) ≤ 0

Resuelve x² − 5x + 6 ≤ 0.

Factorizar: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), comprobado arriba.
Raíces: x = 2 y x = 3.
Signos:

Signo de P(x) = (x − 2)(x − 3) por tramos
Tramo	x − 2	x − 3	P(x)	Comprobación
x < 2	−	−	+	P(1) = 2
2 < x < 3	+	−	−	P(2,5) = −0,25
x > 3	+	+	+	P(4) = 2

Elegir: se pide ≤ 0: el tramo negativo y las raíces (donde vale 0).
Solución: [2, 3]. P(2) = P(3) = 0, así que los corchetes son correctos.

Tu turno · enunciado

Variante autónoma

Resuelve x² − x − 6 > 0. Factoriza, construye la tabla de signos, decide si incluyes las raíces y comprueba con tres valores.

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución razonada de la variante MS09

Dos números que suman −1 y multiplican −6: 2 y −3. Q(x) = (x + 2)(x − 3); comprobación: x² − 3x + 2x − 6.

Raíces −2 y 3. Signos: + antes de −2, − entre −2 y 3, + después de 3. Se pide > 0 (estricto): las raíces quedan excluidas.

Solución: (−∞, −2) ∪ (3, +∞). Comprobación: Q(−3) = 6 > 0; Q(0) = −6 < 0; Q(4) = 6 > 0.

Cuidado

Errores frecuentes y criterio de logro

Dar como solución solo las raíces: son fronteras, no el conjunto.
Unir tramos con signo distinto o escribir 3 < x < −2 (imposible).
Incluir raíces con desigualdad estricta, o excluirlas con ≤/≥.
Olvidar que dividir por un número negativo invierte el sentido.

Lo has logrado si justificas la factorización, la tabla de signos, la unión de intervalos y los extremos con sustituciones.

Memoriza

Memoriza con sentido

Producto nulo: A·B = 0 ⇔ A = 0 o B = 0.
Multiplicar o dividir por negativo invierte la desigualdad.
[ ] incluye el extremo; ( ) lo excluye; con < o > las raíces nunca entran.

Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales. Los modelos anteriores orientan la preparación; no confirman el formato ni el programa de 2026/27.

Antes del test: operaciones con fracciones, identidades y desigualdades lineales con denominadores

Objetivo: resolver sin errores de signo las primeras preguntas del test (operación combinada con fracciones y potencias, desarrollo de identidades, desigualdad lineal con denominadores). Las bases ya están explicadas en Matemáticas Especiales y se enlazan aquí, sin repetirlas; este bloque añade el recorrido con ejemplos propios y una práctica mixta.

Bases por necesidad: jerarquía de operaciones y signos (M02) · simplificar, multiplicar y dividir fracciones (M00B) · sumar y restar fracciones con m.c.m. (M00C) · fracciones (M03) · potencias (M00D) · distributiva y factor común (M00A) · identidades notables (M00F) · desigualdades con fracciones (M15).

Ver el caso resuelto · Práctica mixta · Polinomios de grado 4 · Sistemas con fracciones (MS05)

Método

Operación combinada: paréntesis → potencias → productos y cocientes → sumas y restas. (−a)² es positivo y (−a)³ negativo; −3² = −9. Dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa: 1/(1/4) = 4.
Identidades: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b². Un signo menos delante de un producto afecta a todo el resultado: escribe primero el desarrollo entre paréntesis.
Desigualdad lineal con denominadores: m.c.m. a todos los términos, paréntesis en los numeradores que restan, despeje e inversión del sentido si divides por un negativo (método completo en M15).
En el test: calcula tú el resultado y después busca la opción; si dudas, sustituye un valor sencillo (x = 0 o x = 1) en el enunciado y en cada opción.

Errores frecuentes

Confundir (−1/2)² = 1/4 con −1/4, o −3² con 9.
Escribir 3/(1/3) = 1: es 3 · 3 = 9.
Desarrollar −(x − 2)² como −x² − 4x + 4: es −(x² − 4x + 4) = −x² + 4x − 4.
En la desigualdad, no multiplicar por el m.c.m. los términos sin denominador.

Ejemplo resuelto

Operación: (2/3)² − 1/(1/2) + 3(1 − 1/3) = 4/9 − 2 + 3 · 2/3 = 4/9 − 2 + 2 = 4/9.
Identidades: (x + 2)² − (x − 1)(x + 1) = (x² + 4x + 4) − (x² − 1) = x² + 4x + 4 − x² + 1 = 4x + 5. Comprobación con x = 1: 9 − 0 = 9 y 4 + 5 = 9.
Desigualdad: (2x − 1)/3 − (x + 2)/4 < x/6. m.c.m. 12: 4(2x − 1) − 3(x + 2) < 2x ⟹ 8x − 4 − 3x − 6 < 2x ⟹ 3x < 10 ⟹ x < 10/3. Comprobación: con x = 0, −1/3 − 1/2 = −5/6 < 0 (cumple); con x = 4, 7/3 − 3/2 = 5/6, que no es menor que 4/6.

Práctica mixta autónoma

a) Calcula (−1/3)² + 2/(1/4) − 4(1/2 − 3/4).

b) Desarrolla y reduce 2(x − 1/2)² − (2x + 1)(x − 3).

c) Resuelve (x − 3)/4 − 2(x + 1) ≥ (x − 5)/2.

Mostrar solución razonada de la práctica

a) 1/9 + 8 − 4 · (−1/4) = 1/9 + 8 + 1 = 82/9. Atención: 1/2 − 3/4 = −1/4 y el producto −4 · (−1/4) es +1.
b) 2(x² − x + 1/4) − (2x² − 6x + x − 3) = 2x² − 2x + 1/2 − 2x² + 5x + 3 = 3x + 7/2. Comprobación con x = 1: 2 · 1/4 − 3 · (−2) = 13/2 y 3 + 7/2 = 13/2.
c) m.c.m. 4: (x − 3) − 8(x + 1) ≥ 2(x − 5) ⟹ −7x − 11 ≥ 2x − 10 ⟹ −9x ≥ 1 ⟹ x ≤ −1/9 (se invierte al dividir entre −9). Comprobación: x = −1 da −1 ≥ −3 (cumple); x = 0 da −11/4 ≥ −5/2, falso.

Criterio: orden de operaciones visible, identidades escritas entre paréntesis antes de restar, m.c.m. en todos los términos y cambio de sentido justificado.

Contraste con los modelos 2025 y 2026 (test, preguntas 1, 2 y 4)

Texto extraído de los PDF. Resultados orientativos propios, no clave oficial.

Pregunta 1: 2025: 1/4 − 9 − 1 = −39/4. 2026 modelo 1: 1/4 − 1 + 4 = 13/4. 2026 modelo 2: −1/8 + 1 − 9 = −65/8.
Pregunta 2: 2025: 3(4x² − 1/9) = 12x² − 1/3. 2026 modelo 1: (x² − 1) − (x² − 4x + 4) = 4x − 5. 2026 modelo 2: 4x² − 4x/3 + 1/9 − 4x² + 4 = −4x/3 + 37/9.
Pregunta 4: 2026 modelo 1, (x − 1)/2 − 3x + 1 ≥ x/4 + 2x ⟹ x ≤ 2/19. En 2025 y en el modelo 2 de 2026, la extracción no deja claro qué abarca cada fracción; no se atribuye solución.

Raíces de un polinomio de grado 4: factor común, Ruffini y raíces repetidas

Objetivo: encontrar las raíces de un polinomio de grado 4 con raíces enteras, reconocer una raíz doble y elegir la factorización correcta en un test. Es la pregunta 3 del test en los modelos de 2025 y 2026; saber solo grado 3 no basta. Ejemplos propios.

Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Fórmula de segundo grado

Bases

Si r es raíz de P(x), entonces (x − r) es factor: P(x) = (x − r) · Q(x), con Q de un grado menos.
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros dividen al término independiente: con −2 se prueban ±1 y ±2.
Ruffini divide entre (x − r): se bajan los coeficientes (con 0 en los que falten), se multiplica por r y se suma. Resto 0 ⟺ r es raíz.
Si no hay término independiente, primero factor común: x⁴ − x³ − x² + x = x(x³ − x² − x + 1), y x = 0 es raíz.
Raíz doble: si r vuelve a ser raíz del cociente, (x − r)² es factor y r se cuenta dos veces.

Método

Saca factor común si puedes.
Prueba con Ruffini los divisores del término independiente, empezando por 1 y −1. Cuando una prueba da resto 0, sigue con el cociente.
Vuelve a probar la misma raíz en el cociente: así se detectan las dobles.
Cuando quede grado 2, factoriza o usa la fórmula general (abajo).
Escribe la factorización completa y comprueba sustituyendo o multiplicando.
En un test, compara también el número de raíces con su multiplicidad: grado 4 ⟹ cuatro raíces contadas con repetición si todas son reales.

Errores frecuentes

No poner 0 en el hueco de un coeficiente que falta al hacer Ruffini.
Pararse tras encontrar una raíz y no volver a probarla: se pierde la raíz doble.
Confundir el signo: la raíz 1 da el factor (x − 1); la raíz −3 da (x + 3).
Elegir una opción con tres raíces para un polinomio de grado 4 sin comprobar la multiplicidad.

Ejemplo resuelto

Enunciado. Factoriza P(x) = x⁴ − 3x³ + x² + 3x − 2 y da sus raíces con su multiplicidad.

Divisores de −2: ±1, ±2. P(1) = 1 − 3 + 1 + 3 − 2 = 0 ⟹ 1 es raíz.

Ruffini con r = 1, dos veces
Paso	Coeficientes	Resto
Dividir P entre (x − 1)	1, −3, 1, 3, −2 ⟶ cociente 1, −2, −1, 2	0
Dividir de nuevo entre (x − 1)	1, −2, −1, 2 ⟶ cociente 1, −1, −2	0

Queda x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) (dos números que suman −1 y multiplican −2: −2 y 1).
P(x) = (x − 1)²(x + 1)(x − 2). Raíces: 1 (doble), −1 y 2.
Comprobación: P(−1) = 1 + 3 + 1 − 3 − 2 = 0; P(2) = 16 − 24 + 4 + 6 − 2 = 0.

Cuando el último factor de grado 2 no se ve a simple vista

Para ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Si b² − 4ac < 0, no hay raíces reales; si vale 0, hay una raíz doble. Ejemplo: 3x² + 4x − 4 = 0 ⟹ x = (−4 ± √64)/6 ⟹ x = 2/3 o x = −2, es decir, 3x² + 4x − 4 = (3x − 2)(x + 2). Explicación completa en Matemáticas Especiales · M07 Ecuaciones de segundo grado. Esta fórmula también resuelve f′(x) = 0 en el estudio de cúbicas de MS11.

Variante autónoma

a) Factoriza x⁴ + 4x³ + 3x² − 4x − 4 e indica qué raíz es doble.

b) Halla las raíces de x⁴ − x³ − 4x² + 4x.

Mostrar solución razonada de la variante

a) Divisores de −4. Con 1: coeficientes 1, 4, 3, −4, −4 ⟶ 1, 5, 8, 4, resto 0. Con −1 sobre 1, 5, 8, 4 ⟶ 1, 4, 4, resto 0. Queda x² + 4x + 4 = (x + 2)². (x − 1)(x + 1)(x + 2)²: −2 es raíz doble. Comprobación: P(−2) = 16 − 32 + 12 + 8 − 4 = 0.
b) Factor común: x(x³ − x² − 4x + 4). Con 1: 1, −1, −4, 4 ⟶ 1, 0, −4, resto 0. Queda x² − 4 = (x − 2)(x + 2). x(x − 1)(x − 2)(x + 2); raíces 0, 1, 2 y −2, todas simples.

Criterio: divisores del término independiente, Ruffini con resto 0 visible, repetición de la raíz para detectar las dobles, factorización final comprobada.

Contraste con los modelos (test, pregunta 3)

Texto extraído de los PDF. Resultados orientativos propios, no clave oficial.

2025 y 2026 modelo 2: x⁴ + 2x³ − 4x² − 2x + 3 = (x − 1)²(x + 1)(x + 3): raíces 1 (doble), −1 y −3. En 2025 coincide con la opción que da −1, −3, 1, 1; en 2026 con la factorización (x − 1)²(x + 1)(x + 3).
2026 modelo 1: x⁴ − x³ − x² + x = x(x − 1)²(x + 1): raíces −1, 0, 1, 1.

Para recordar

Factor común → Ruffini con divisores del término independiente → repetir la raíz → grado 2 con la fórmula.
Raíz r ⟺ factor (x − r); si aparece dos veces, (x − r)².

Repasa la idea clave en Memorizar.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Material preparado el 23/10/2026. Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales ni acreditan cobertura del programa vigente. Contrasta el alcance con tu asignatura.