3. Estadística · lección 6 de 11
MS08 Estadística: varianza y desviación típica
Objetivo: Calcular media, varianza poblacional y desviación típica de una lista breve e interpretar sus unidades.
La idea
Entender el concepto
La media resume el centro; la dispersión indica cuánto se separan los datos de él. En esta ficha tratamos todos los datos dados como la población completa: su varianza es la suma de las diferencias respecto a la media, elevadas al cuadrado, dividida entre N.
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Si los datos se expresan en centímetros, la varianza queda en cm² y la desviación típica vuelve a cm. No confundimos esta varianza poblacional con la estimación muestral corregida que divide entre n − 1.
Paso a paso
Método paso a paso
- Calcula la media sumando los valores y dividiendo entre N.
- Resta la media a cada valor y eleva cada diferencia al cuadrado.
- Suma los cuadrados y divide entre N para obtener la varianza poblacional.
- Extrae la raíz cuadrada para hallar la desviación típica. Conserva fracciones o precisión intermedia y redondea al final.
Ejemplo
Ejemplo resuelto
Para la población formada por 2, 4, 6:
- Media = (2 + 4 + 6)/3 = 4.
- Diferencias: −2, 0, 2; cuadrados: 4, 0, 4.
- Varianza poblacional = (4 + 0 + 4)/3 = 8/3.
- Desviación típica = √(8/3) ≈ 1,63, en las unidades de los datos.
Las diferencias sin elevar al cuadrado sumarían cero y no medirían esta dispersión.
Cuidado
Error habitual y cómo corregirlo
No dividas entre N − 1 si se pide la varianza poblacional. No olvides elevar al cuadrado ni atribuyas a la varianza las mismas unidades de los datos.
Tu turno · enunciado
Ejercicio autónomo
Tratando los datos 1, 3, 5 como la población completa, calcula media, varianza poblacional y desviación típica. Redondea solo la desviación final a dos decimales.
Solución
Solución de contraste (consultar después)
Mostrar solución razonada
Media = (1 + 3 + 5)/3 = 3. Diferencias: −2, 0, 2; cuadrados: 4, 0, 4. Varianza poblacional = 8/3. Desviación típica = √(8/3) ≈ 1,63.
La dispersión coincide con la del ejemplo 2, 4, 6: restar una unidad a todos los datos cambia la media, pero no las distancias respecto a ella.
Chuleta para el examen
Chuleta integrada
Varianza poblacional = suma de (dato − media)² / N. Desviación típica = raíz de la varianza; recupera las unidades originales.
Desviación típica y coeficiente de variación desde una tabla de frecuencias
Objetivo: calcular media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación (CV) cuando los datos vienen en una tabla de valores y frecuencias, e interpretar el resultado. Es el ejercicio de desarrollo 2 de los modelos de 2025 y 2026. Media, mediana y moda desde tablas: MS01 · De la lista a la tabla. Otro ejercicio resuelto completo del mismo tipo: práctica original de la asignatura.
Método · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Contraste con los modelos
Método con tabla ampliada
- Añade a la tabla las columnas x·f y x²·f. N = Σf (número de datos, no número de valores distintos).
- Media = Σx·f / N.
- Varianza = Σx²·f / N − media². Se divide entre N porque se describen los datos dados, sin estimar una población.
- Desviación típica σ = √varianza, con las unidades de los datos.
- CV = 100 · σ / media (en %), con media positiva y variable en escala de razón: el cero indica ausencia de la cantidad medida, como cero libros o cero horas. No se interpreta igual en valoraciones ordinales ni en escalas con cero arbitrario, como grados Celsius. Sirve para comparar la dispersión relativa de conjuntos con medias distintas: mayor CV, datos relativamente más dispersos.
- Guarda decimales hasta el final; redondea solo σ y el CV que entregas.
Errores frecuentes
- Dividir entre el número de filas (5 valores) en lugar de entre N.
- Elevar al cuadrado x·f en vez de multiplicar x² por f.
- Dar como moda la frecuencia máxima (7) en lugar del valor que la tiene.
- Calcular el CV con la varianza en lugar de σ.
- Redondear la media antes de restarla al cuadrado.
Ejemplo resuelto
Enunciado. Se pregunta a 20 personas cuántos libros han leído este mes. Valores 0, 1, 2 y 3 con frecuencias 3, 5, 8 y 4. Calcula media, mediana, moda, desviación típica y CV, e interpreta el CV.
| x | f | x·f | x²·f | F acumulada |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0 | 0 | 3 |
| 1 | 5 | 5 | 5 | 8 |
| 2 | 8 | 16 | 32 | 16 |
| 3 | 4 | 12 | 36 | 20 |
| Total | 20 | 33 | 73 |
- Media = 33/20 = 1,65 libros.
- Mediana: posiciones centrales 10 y 11; la acumulada pasa de 8 a 16 en x = 2 ⟹ mediana 2. Moda: frecuencia máxima 8 ⟹ moda 2.
- Varianza = 73/20 − 1,65² = 3,65 − 2,7225 = 0,9275 (libros²).
- σ = √0,9275 ≈ 0,963 libros.
- CV = 100 · 0,963068/1,65 ≈ 58,37 %. Lectura: la desviación típica es algo más de la mitad de la media; los datos están bastante dispersos en relación con su media.
Variante autónoma
En otro mes se cuenta cuántos libros ha leído cada una de 20 personas: valores 1, 2, 3, 4 y 5 con frecuencias 2, 6, 5, 4 y 3. Es un recuento con cero significativo (cero libros), aunque en este grupo nadie tenga valor cero. Calcula media, mediana, moda, desviación típica y CV. ¿Es este conjunto relativamente más o menos disperso que el del ejemplo resuelto?
Mostrar solución razonada de la variante
- Σx·f = 2 + 12 + 15 + 16 + 15 = 60 ⟹ media 3. Acumuladas 2, 8, 13, 17, 20: posiciones 10 y 11 en x = 3 ⟹ mediana 3. Frecuencia máxima 6 ⟹ moda 2.
- Σx²·f = 2 + 24 + 45 + 64 + 75 = 210 ⟹ varianza = 210/20 − 9 = 1,5; σ = √1,5 ≈ 1,225.
- CV = 100 · 1,224745/3 ≈ 40,82 %. Aunque σ es mayor que en el ejemplo (1,225 frente a 0,963), el CV es menor (40,82 % frente a 58,37 %): en relación con su media, este conjunto está menos disperso.
Criterio: N correcto, cuadrados ponderados por f, σ con unidades, CV con σ y lectura comparativa. Error que se detecta aquí: concluir que es más disperso solo porque σ es mayor.
Contraste con los modelos (desarrollo, ejercicio 2)
Texto extraído de los PDF; resultados orientativos propios, no corrección oficial.
- 2025 y 2026 modelo 2 (misma tabla: valores 0 a 4 con frecuencias 4, 3, 7, 3, 3; N = 20): media 38/20 = 1,9; moda 2; varianza 106/20 − 1,9² = 1,69; σ = 1,3; CV ≈ 68,42 %.
- 2026 modelo 1 (frecuencias 5, 9, 6, 2, 3; N = 25): mediana 1 (posición 13, acumuladas 5 y 14); moda 1; media 39/25 = 1,56; varianza 99/25 − 1,56² = 1,5264; σ ≈ 1,2355; CV ≈ 79,20 %.
- Incidencia en 2026 modelo 2: la tabla recoge horas semanales, pero el apartado 1 pide el número medio de horas al día. Conviene escribir las dos cosas: media de la tabla, 1,9 h/semana; si se pasa a días dividiendo entre 7, 1,9/7 ≈ 0,271 h/día. σ también se divide entre 7 (1,3/7 ≈ 0,186 h/día) y el CV no cambia (≈ 68,42 %): dividir todos los datos por la misma constante positiva no altera la dispersión relativa. No es un error del alumnado; indica en la respuesta qué interpretación usas.
Para recordar
- N = Σf · media = Σxf/N · varianza = Σx²f/N − media² · σ = √varianza · CV = 100σ/media.
- Interpreta el CV con media positiva y cero significativo (escala de razón). Cambiar de unidad multiplicando por una constante positiva cambia media y σ, pero no el CV; desplazar el cero no es ese cambio de escala.
Repasa la idea clave en Memorizar y Memorizar · varianza y desviación típica.
Comprueba lo que sabes
Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.
Material revisado de apoyo, 16/10/2026. Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales ni acreditan cobertura del programa vigente. Contrasta el alcance con tu asignatura.