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Inicio / Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. / MS05

Matemáticas Aplicadas a las CC. SS.

2. Funciones y sistemas · lección 4 de 11

MS05 Sistemas lineales y problemas

Base / prueba

Objetivo: Plantear y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales y comprobar que la pareja obtenida satisface ambas.

La idea

Entender el concepto

Resolver un sistema consiste en encontrar valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones a la vez. Con dos incógnitas, la solución se expresa como pareja (x, y). La sustitución despeja una incógnita y la introduce en la otra ecuación; la eliminación combina ecuaciones para suprimir una incógnita.

Un sistema puede tener una solución, ninguna o infinitas. En los ejemplos siguientes hay una solución única. Si procede de un problema, las incógnitas necesitan significado y unidades.

Paso a paso

Método paso a paso

  1. Define las incógnitas y escribe las dos ecuaciones; respeta los datos del problema.
  2. Elige sustitución o eliminación. Para eliminar al sumar, busca coeficientes opuestos de una incógnita.
  3. Resuelve la ecuación que queda y sustituye el valor en una de las originales.
  4. Comprueba la pareja en las dos ecuaciones y responde al problema con sus unidades, si las hay.

Ejemplo

Ejemplo resuelto

Resuelve x + y = 10 y x − y = 2.

  1. Sumamos miembro a miembro: (x + y) + (x − y) = 10 + 2. Los términos +y y −y se cancelan.
  2. Queda 2x = 12; por tanto, x = 6.
  3. Sustituyendo en x + y = 10: 6 + y = 10; y = 4.
  4. Comprobación: 6 + 4 = 10 y 6 − 4 = 2. La solución es (6, 4).

Cuidado

Error habitual y cómo corregirlo

Dar solo x no resuelve el sistema. Revisa los signos al combinar ecuaciones y comprueba también la segunda: una pareja puede satisfacer una ecuación y fallar en la otra.

Tu turno · enunciado

Ejercicio autónomo

Resuelve x + y = 9 y x − y = 1. Indica la pareja (x, y) y compruébala en ambas ecuaciones.

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución razonada

Sumando: 2x = 10, de donde x = 5. Sustituyendo: 5 + y = 9, luego y = 4. Comprobación: 5 + 4 = 9 y 5 − 4 = 1. La pareja es (5, 4).

Chuleta para el examen

Chuleta integrada

Al sumar dos ecuaciones, se elimina una incógnita si sus coeficientes son opuestos. Comprueba siempre la pareja en las dos ecuaciones originales.

Sistemas con fracciones o con las incógnitas desordenadas

Objetivo: preparar un sistema 2×2 antes de resolverlo: quitar denominadores, pasar las incógnitas a la izquierda en el mismo orden y después eliminar. Es la pregunta 5 del test en los modelos de 2025 y 2026; los ejemplos son propios. Bases de fracciones: m.c.m. (M00C) y operaciones con fracciones (MS09).

Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Equilibrio de mercado

Método

  1. En cada ecuación, multiplica todos los términos por el m.c.m. de sus denominadores.
  2. Reordena: términos en x, luego en y, a la izquierda; número a la derecha (ax + by = c).
  3. Elimina una incógnita: multiplica una o las dos ecuaciones para que sus coeficientes sean iguales u opuestos, y resta o suma.
  4. Calcula la otra incógnita sustituyendo y comprueba en las ecuaciones originales, con sus fracciones.
  5. En un test, sustituir cada opción en las dos ecuaciones originales también es un método válido; descarta en cuanto una falle.

Errores frecuentes

  • Multiplicar por el m.c.m. solo el término con denominador.
  • Al pasar términos de lado, no cambiar su signo (2y − 4 = 4x + 6 ⟹ −4x + 2y = 10).
  • Comprobar solo en la ecuación ya transformada, donde un error anterior no se ve.

Ejemplo resuelto

Enunciado. Resuelve x/3 + y/2 = 0 y (x − y)/5 = 1/2.

  1. Primera por 6: 2x + 3y = 0. Segunda por 10: 2(x − y) = 5 ⟹ 2x − 2y = 5.
  2. Restamos la segunda de la primera: (2x + 3y) − (2x − 2y) = 0 − 5 ⟹ 5y = −5 ⟹ y = −1.
  3. 2x + 3(−1) = 0 ⟹ x = 3/2.
  4. Comprobación en las originales: (3/2)/3 + (−1)/2 = 1/2 − 1/2 = 0; (3/2 + 1)/5 = (5/2)/5 = 1/2. Solución (3/2, −1).

Variante autónoma

Resuelve x/2 + y/4 = 1 y 3x − (y + 1)/2 = 4.

Mostrar solución razonada de la variante

Primera por 4: 2x + y = 4. Segunda por 2: 6x − (y + 1) = 8 ⟹ 6x − y = 9. Sumando: 8x = 13 ⟹ x = 13/8; y = 4 − 13/4 = 3/4. Comprobación: 13/16 + 3/16 = 1 y 39/8 − (7/4)/2 = 39/8 − 7/8 = 4. Criterio: paréntesis en (y + 1) al multiplicar, eliminación limpia y comprobación en las ecuaciones originales.

Contraste con los modelos (test, pregunta 5)

Texto extraído de los PDF. Resultados orientativos propios, no clave oficial.

  • 2025: 2x − y/2 = −3 y 2y − 4 = 4x + 6 ⟹ 4x − y = −6 y −4x + 2y = 10 ⟹ y = 4, x = −1/2.
  • 2026 modelo 1: 2x + 4y = −1 y x/2 − 3y/2 = 1 ⟹ x − 3y = 2 ⟹ x = 1/2, y = −1/2.
  • 2026 modelo 2: x/2 − y/2 = −1 y 2x + 4y = −1 ⟹ x − y = −2 ⟹ x = −3/2, y = 1/2.

Equilibrio de mercado: oferta igual a demanda

Objetivo: calcular el precio y la cantidad de equilibrio con funciones lineales de oferta y demanda, e interpretar cada número con su unidad. Es la pregunta 8 del test del modelo de 2025; ejemplos propios. Las rectas y sus pendientes están en MS06; el ingreso máximo, en MS11.

Bases y señales

  • Oferta q_o(p): cantidad que los productores quieren vender a precio p (suele crecer con p). Demanda q_d(p): cantidad que los compradores quieren comprar (suele decrecer con p).
  • Equilibrio: el precio p_e en que q_o(p_e) = q_d(p_e); la cantidad de equilibrio q_e es ese valor común.
  • Señal: «precio y cantidad de equilibrio, respectivamente»: el orden de la respuesta importa.

Método

  1. Iguala las dos expresiones y despeja p.
  2. Sustituye p en las dos funciones: deben dar la misma cantidad.
  3. Comprueba que p ≥ 0 y q ≥ 0 y responde «precio … €, cantidad … unidades».

Ejemplo resuelto

Oferta q_o = 2 + 3p; demanda q_d = 26 − p (p en euros, q en unidades). 2 + 3p = 26 − p ⟹ 4p = 24 ⟹ p_e = 6 €. q_o = 2 + 18 = 20 y q_d = 26 − 6 = 20 ⟹ q_e = 20 unidades. A precio 6 € se ofrecen y se piden 20 unidades.

Variante autónoma

Oferta q_o = −4 + 5p; demanda q_d = 20 − 3p. Calcula precio y cantidad de equilibrio. ¿Qué ocurre a un precio de 4 €?

Mostrar solución razonada de la variante

−4 + 5p = 20 − 3p ⟹ 8p = 24 ⟹ p_e = 3 €; q_o = 11 y q_d = 11 ⟹ q_e = 11 unidades. A 4 €: q_o = 16 y q_d = 8; se ofrece más de lo que se pide (exceso de oferta de 8 unidades). Criterio: igualdad planteada, cantidad comprobada en las dos funciones, orden precio–cantidad y unidades. Error típico: dar el par al revés (q, p).

Contraste con el modelo 2025 (test, pregunta 8)

Texto extraído del PDF; resultado orientativo propio.

q_o = 1 + 6p y q_d = −p + 15 ⟹ 7p = 14 ⟹ p_e = 2 y q_e = 13. Una de las opciones da los mismos números en orden inverso: hay que leer «respectivamente».

Para recordar

  • Sistemas con fracciones: m.c.m. en cada ecuación, ordenar ax + by = c, eliminar y comprobar en las originales.
  • Equilibrio: q_o(p) = q_d(p) ⟹ p_e; q_e comprobada en las dos funciones.

Repasa la idea clave en Memorizar.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Material revisado de apoyo, 16/10/2026. Explicaciones y ejercicios propios; no son preguntas oficiales ni acreditan cobertura del programa vigente. Contrasta el alcance con tu asignatura.