Ruta de estudio · Fuerzas, energía y choques · lección 7 de 14

F07 Leyes de Newton y fuerzas

Nivel prueba

La idea

Entender el concepto

Objetivo: Construir un diagrama de cuerpo libre y obtener la aceleración a partir de todas las fuerzas sobre ese cuerpo.

La fuerza es una interacción. Para aplicar Newton elige primero qué cuerpo estudias y dibuja solo las fuerzas que otros cuerpos ejercen sobre él: peso, normal, tensión, rozamiento o empuje aplicado. Una flecha de velocidad no es una fuerza adicional.

En un sistema de referencia inercial, fuerza neta cero implica aceleración cero: el cuerpo puede estar en reposo o moverse con velocidad constante. Para masa constante, la fuerza resultante produce la aceleración según ΣF=ma. Se aplica por componentes, no mezclando horizontal y vertical en una única suma escalar.

Las fuerzas de acción y reacción pertenecen a cuerpos diferentes. El peso de un libro es la fuerza de la Tierra sobre el libro; su pareja es la fuerza gravitatoria del libro sobre la Tierra. La normal de la mesa puede equilibrar el peso sobre el libro, pero no es su pareja de tercera ley.

La masa mide inercia y se expresa en kg. El peso es una fuerza mg en N. En una superficie horizontal sin otras fuerzas verticales ni aceleración vertical, N=mg; esta igualdad no debe aplicarse automáticamente a un plano inclinado o a un ascensor acelerado.

Relaciones y condiciones de uso

ΣFₓ=m·aₓ; ΣFᵧ=m·aᵧ para masa constante en un marco inercial.
Peso=m·g hacia abajo; 1 N=1 kg·m/s².
Rozamiento cinético fk=μkN en el modelo simple de deslizamiento; el rozamiento estático no es siempre μsN, sino que se ajusta hasta su límite.

Paso a paso

Método paso a paso

Aísla el cuerpo y dibuja fuerzas reales; elige ejes.
Descompón si es necesario y suma con signos en cada eje.
Usa la condición vertical antes de obtener rozamiento y aceleración horizontal.

Ejemplo

Dos ejercicios resueltos

1. Caja con rozamiento

Una caja de 5 kg es tirada horizontalmente con 18 N; el rozamiento de deslizamiento vale 3 N. Calcula aceleración.

Datos e incógnita: m=5 kg; Faplicada=+18 N; fr=−3 N; sin aceleración vertical.
Por qué usamos esta relación: Newton usa la fuerza neta, no solo la aplicada.
Sustitución con unidades: ΣFₓ = 18 N − 3 N = 15 N; aₓ = (15 N) / (5 kg).
Cálculo y resultado: a=3 m/s² hacia la fuerza aplicada.
Comprobación: 5 kg×3 m/s²=15 N; la fuerza neta es menor que 18 N por el rozamiento.

2. Lo que mide una báscula

Una persona de 60 kg sube en un ascensor que acelera hacia arriba a 1,2 m/s². ¿Qué fuerza normal ejerce el suelo?

Datos e incógnita: m=60 kg; a=+1,2 m/s²; g=9,8 m/s².
Por qué usamos esta relación: Con arriba positivo, N−mg=ma. El suelo debe vencer peso y además acelerar a la persona.
Sustitución con unidades: N = m × (g + a) = (60 kg) × (9,8 m/s² + 1,2 m/s²).
Cálculo y resultado: N=660 N; el peso gravitatorio sigue siendo 588 N.
Comprobación: N−mg=660−588=72 N=60×1,2. La masa no aumenta: cambia la fuerza de apoyo.

Cuidado

Error habitual y cómo corregirlo

Error: cancelar el peso y su reacción gravitatoria en el diagrama de un solo cuerpo. La reacción actúa sobre la Tierra, no sobre el cuerpo analizado.

Tu turno · enunciado

Ejercicio autónomo

Una caja de 4 kg desliza en el mismo sentido del tirón sobre suelo horizontal; μk=0,20 y se tira horizontalmente con 15 N. Calcula aceleración con g=9,8 m/s².

Inténtalo en papel antes de desplegar la solución. Explica qué relación eliges y conserva las unidades.

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución razonada

N=mg=39,2 N al no haber otras fuerzas verticales. fk=0,20×39,2=7,84 N. Fnet=15−7,84=7,16 N; a=7,16/4=1,79 m/s² hacia el tirón. Se ha supuesto deslizamiento, no reposo inicial con rozamiento estático desconocido.

Chuleta para el examen

Qué debes recordar

ΣFₓ=m·aₓ; ΣFᵧ=m·aᵧ para masa constante en un marco inercial.
Peso=m·g hacia abajo; 1 N=1 kg·m/s².
Rozamiento cinético fk=μkN en el modelo simple de deslizamiento; el rozamiento estático no es siempre μsN, sino que se ajusta hasta su límite.

Para ampliar con el libro

Selección básica: lee los conceptos y ejemplos algebraicos; puedes omitir los desarrollos con cálculo. Los enlaces se abren en una pestaña nueva.

Física universitaria volumen 1 · OpenStax · capítulo 5

Gravedad en la superficie y a cierta altura

Objetivo: calcular la gravedad g y el peso de un objeto en planetas distintos y a distintas distancias. El cálculo se hace por proporciones y no hace falta conocer G ni M. Es una ampliación introductoria con ejemplos originales; no incluye órbitas ni potencial gravitatorio.

Bases previas: F02 Unidades · F03 Vectores · F07 Newton (esta lección) · F08 Energía.

Recuperar las bases · Ver el caso resuelto · Resolver una variante · Comprobar sin ayuda

Bases y supuestos (condiciones del modelo)

Planeta esférico con la masa repartida simétricamente. El punto está en la superficie o fuera del planeta.
r se mide desde el centro, no desde la superficie: r = R + h.
Se trabaja con módulos; la dirección es siempre hacia el centro.
9,8 y 10 m/s² son aproximaciones habituales de g en la superficie terrestre. No son un valor universal, pero tampoco exclusivo de la Tierra: otro planeta puede tener la misma g en su superficie (véase la variante).

Magnitud	Expresión	Unidad	¿Cambia de lugar?
Masa m	propiedad del objeto	kg	No
Gravedad g	g = GM/r²	m/s² = N/kg	Sí
Peso P	P = m·g	N	Sí

Cómo elegir el método

Si el enunciado compara con un planeta de referencia, divide una expresión entre la otra:

g₂/g₁ = (M₂/M₁) · (r₁/r₂)²

Así G desaparece y solo quedan factores sencillos.

Ejemplo resuelto (5 fases)

Enunciado. En el planeta A, la gravedad en la superficie es 10 m/s². El planeta B tiene el doble de masa y el doble de radio que A. Un objeto de 4 kg está en B.
a) Calcula g en la superficie de B y el peso del objeto allí.
b) Calcula lo mismo a una altura h = R_B sobre la superficie.

Identificar. Datos: g_A = 10 m/s², M_B = 2M_A, R_B = 2R_A, m = 4 kg. Se piden g y P en dos puntos.
Modelar. Ambos planetas se tratan como esferas y los puntos están en la superficie o fuera del planeta. En b) la distancia al centro es r = R_B + R_B = 2R_B.
Elegir método. Cociente respecto de A en a). Ley del inverso del cuadrado dentro de B en b).
Calcular. a) g_B/g_A = 2 · (1/2)² = 2/4 = 1/2, así que g_B = 5 m/s². P = 4 · 5 = 20 N. b) Al duplicar r, g se divide entre 2² = 4: g = 5/4 = 1,25 m/s². P = 4 · 1,25 = 5 N.
Comprobar. La masa sigue siendo 4 kg en todos los casos. Tiene sentido que el peso disminuya al alejarse del planeta. Las unidades son coherentes: kg · m/s² = N.

Resultado vectorial. En los dos puntos, el peso apunta hacia el centro de B. Su módulo es 20 N en la superficie y 5 N en b).

Variante autónoma

El planeta C tiene 1/4 de la masa y la mitad del radio de A.
a) Calcula g en la superficie de C.
b) Calcula g a una altura h = R_C.
c) Calcula el peso de un objeto de 3 kg en cada uno de los dos puntos.

Mostrar solución de la variante

a) g_C/g_A = (1/4) · (1/(1/2))² = (1/4) · 4 = 1. Por tanto g_C = 10 m/s²: la gravedad coincide con la de A aunque la masa y el radio sean distintos.
b) r = 2R_C, así que g = 10/4 = 2,5 m/s².
c) P = 3 · 10 = 30 N en la superficie y 3 · 2,5 = 7,5 N a esa altura. En ambos casos el peso apunta hacia el centro de C.

Condición clave: la masa y el radio actúan a la vez. Mirar solo uno de los dos factores lleva a error.

Dos preguntas para comprobar sin ayuda

Práctica original sin puntuación automática. Elige una opción y justifícala antes de abrir cada solución.

1. Mismo radio, triple masa

Un planeta tiene el mismo radio que A y el triple de masa. ¿Cuánto vale g en su superficie?

3,3 m/s²
30 m/s²
90 m/s²
10 m/s²

Mostrar clave y feedback de la pregunta 1

B (correcta). Con el radio igual, g es proporcional a M: 3 · 10 = 30 m/s².
A. Has dividido en lugar de multiplicar. A más masa, más gravedad.
C. Has elevado al cuadrado la masa. En la fórmula, el cuadrado afecta solo a r.
D. Has supuesto que g es universal.

2. ¿Qué cambia al subir?

El objeto de 4 kg se lleva desde la superficie de B hasta h = R_B. ¿Qué cambia?

Solo la masa
La masa y el peso
Solo el peso
Nada

Mostrar clave y feedback de la pregunta 2

C (correcta). El peso pasa de 20 N a 5 N y la masa sigue siendo 4 kg.
A y B. La masa no depende del lugar donde esté el objeto.
D. g depende de r, así que el peso sí cambia.

Para recordar

r se mide desde el centro: h = R implica r = 2R y g/4.
La masa es la misma en todas partes. El peso es m·g y depende del lugar.

Criterio de logro: calculas g y P por cociente en dos puntos distintos, indicas que el peso apunta hacia el centro y explicas por qué la masa no cambia.

Lectura sugerida: Física universitaria volumen 1 (OpenStax), apartado 13.2; el enlace al volumen está en Material y fuentes de la portada de Física. Repasa la idea clave en Memorizar.

Rozamiento estático y plano inclinado: decidir antes de calcular

Objetivo: decidir si un cuerpo sigue en reposo comparando la fuerza de rozamiento que haría falta con el máximo μₛ·N, usar μₖ solo cuando desliza y resolver un plano inclinado con ejes paralelo y perpendicular. Amplía el inicio de esta lección: diagrama de cuerpo libre y segunda ley y prepara el trabajo del rozamiento en energía (F08).

Recuperar las bases · Caso resuelto · Variante autónoma · Dos preguntas para aplicar · Memoriza con sentido

Qué debes reconocer antes de operar

Recupera la segunda ley, ΣF = m·a, y el diagrama de cuerpo libre (DCL): solo fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La normal N es la fuerza perpendicular que ejerce la superficie; no es siempre igual al peso.

Rozamiento estático: mientras no desliza, f toma el valor necesario para el equilibrio y cumple f ≤ μₛ·N. El máximo μₛ·N solo se alcanza al borde del deslizamiento.
Rozamiento cinético: si desliza, f = μₖ·N y se opone al movimiento relativo. Usa μₖ solo si el enunciado lo da; no supongas μₛ = μₖ.
Sentido: f se opone a la tendencia al movimiento (en reposo) o al movimiento (deslizando).
Plano inclinado de ángulo α: con ejes paralelo y perpendicular al plano, el peso se descompone en m·g·sen α (a lo largo del plano, hacia abajo) y m·g·cos α (contra el plano). N = m·g·cos α solo si no hay otras fuerzas con componente perpendicular y no hay aceleración en esa dirección.

Procedimiento paso a paso

DCL y ejes: horizontal/vertical en suelo; paralelo/perpendicular en plano inclinado.
Normal: plantea ΣF⊥ = 0 y obtén N (no la copies del peso sin comprobar).
Fuerza necesaria: supón reposo y calcula qué rozamiento haría falta, f_nec, para que ΣF∥ = 0.
Comparar: si f_nec ≤ μₛ·N, sigue en reposo y f = f_nec. Si f_nec > μₛ·N, desliza: usa f = μₖ·N y ΣF∥ = m·a.
Comprobar: sentido de f, unidades (N, m/s²) y que a = 0 si queda en reposo.

Ejemplo resuelto: empujar una caja dos veces

Una caja de m = 10 kg descansa en un suelo horizontal con μₛ = 0,50 y μₖ = 0,40; g = 10 m/s². Se empuja horizontalmente con (a) F = 30 N y (b) F = 60 N. ¿Se mueve? ¿Cuánto vale el rozamiento y la aceleración?

Datos y petición: m = 10 kg; μₛ = 0,50; μₖ = 0,40; g = 10 m/s²; F horizontal. Buscamos estado, f y a.
Modelo y decisión: sin fuerzas verticales añadidas, ΣF_y = 0 da N = m·g = 100 N. Máximo estático μₛ·N = 50 N. Suponemos reposo y comparamos f_nec = F con 50 N.
Sustitución: (a) f_nec = 30 N ≤ 50 N. (b) f_nec = 60 N > 50 N: desliza, f = μₖ·N = 0,40·100 N = 40 N; 60 N − 40 N = (10 kg)·a.
Resultados: (a) reposo, f = 30 N opuesta a F (no 50 N), a = 0. (b) desliza, f = 40 N, a = 2 m/s² en el sentido de F.
Comprobación: en (a) ΣF = 30 − 30 = 0, coherente con reposo; en (b) ΣF = 20 N = 10 kg · 2 m/s². Si se hubiera usado 50 N en (a), la caja «retrocedería», lo que es absurdo.

Plano inclinado: m = 4 kg, α = 30°, μₛ = 0,60, g = 10 m/s², sin otras fuerzas
Magnitud	Expresión	Valor
Componente del peso a lo largo del plano	m·g·sen 30°	20 N, hacia abajo del plano
Normal	m·g·cos 30°	≈ 34,64 N
Máximo estático	μₛ·N	≈ 20,78 N
Decisión	f_nec = 20 N ≤ 20,78 N	Reposo; f = 20 N hacia arriba del plano

Tu turno: un plano más inclinado

Un bloque de m = 5 kg se deja en reposo sobre un plano de α = 37° (toma sen 37° = 0,6 y cos 37° = 0,8) con μₛ = 0,50 y μₖ = 0,40; g = 10 m/s². No hay más fuerzas. ¿Se queda quieto? Si desliza, calcula la aceleración.

Mostrar solución razonada del plano inclinado

Componente paralela del peso: 5·10·0,6 = 30 N hacia abajo del plano. N = 5·10·0,8 = 40 N.
Máximo estático: 0,50·40 = 20 N < 30 N necesarios: desliza.
Rozamiento cinético: 0,40·40 = 16 N hacia arriba del plano. a = (30 − 16)/5 = 2,8 m/s² hacia abajo del plano.
Comprobación: a < g·sen α = 6 m/s², valor que tendría sin rozamiento; unidades N/kg = m/s².

Elige y justifica: dos decisiones

Práctica original sin puntuación automática. No modifica los resultados del banco de preguntas existente.

1. Cuánto vale el rozamiento en reposo

Un mueble de 20 kg está en un suelo horizontal con μₛ = 0,40 (g = 10 m/s²). Lo empujas horizontalmente con 50 N y no se mueve. ¿Cuánto vale el rozamiento?

80 N, porque f = μₛ·N.
50 N, opuesto al empuje.
0 N, porque no se mueve.
30 N, la diferencia 80 − 50.

Mostrar solución de rozamiento 1

B. En reposo f es la necesaria para el equilibrio: 50 N, y 50 N ≤ μₛ·N = 80 N. A confunde el máximo con el valor real; C olvida que sin rozamiento el empuje lo aceleraría; D resta el empuje del máximo estático: 80 N es un tope, no una fuerza que actúe; el rozamiento real equilibra los 50 N.

2. Cuándo N = m·g·cos α

Un bloque está en un plano inclinado de ángulo α. ¿En qué caso es correcto escribir N = m·g·cos α?

Siempre que haya un plano inclinado.
Solo si el bloque está en reposo.
Si no hay otras fuerzas con componente perpendicular al plano y no se separa de él.
Solo si no hay rozamiento.

Mostrar solución de rozamiento 2

C. N sale de ΣF⊥ = 0. A falla si, por ejemplo, empujas en diagonal contra el plano; B no es necesario: deslizando a lo largo del plano también vale; D no importa: el rozamiento es paralelo al plano y no cambia ΣF⊥.

Memoriza con sentido

Estático: necesario, con tope: f_nec ≤ μₛ·N → reposo y f = f_nec. Si f_nec > μₛ·N, desliza y f = μₖ·N (si se da μₖ).
Plano inclinado: Peso: m·g·sen α a lo largo del plano y m·g·cos α contra él. N = m·g·cos α solo sin otras fuerzas perpendiculares.

Errores frecuentes y criterio de logro

Error: poner siempre f = μₛ·N. Corrección: en reposo f es la necesaria, como mucho μₛ·N.
Error: inventar μₛ = μₖ cuando solo se da uno.
Error: intercambiar seno y coseno al descomponer el peso.
Error: dibujar f a favor del movimiento o de la tendencia.

Lo has logrado si decides reposo o deslizamiento comparando con μₛ·N, obtienes N con ΣF⊥ = 0 y das f y a con su sentido y unidades.

Siguiente paso: para calcular la energía al final de una bajada o deducir μ cuando un cuerpo sube y se para, usa esta normal y este rozamiento en F08 · energía en un plano con rozamiento.

Volver a Practicar Física.

Ejercicios y explicaciones propios; no son preguntas oficiales. Consulta de apoyo: Física universitaria volumen 1 · OpenStax · capítulo 5: leyes de Newton, normal y diagrama de cuerpo libre (nueva pestaña). Modelos anteriores orientan la preparación; no confirman el formato ni el programa de 2026/27.

Potencial y energía potencial gravitatoria fuera de un planeta

Objetivo: distinguir el campo g (vector, N/kg) del potencial V_g (escalar, J/kg), calcular U_g = m·V_g y la variación de energía potencial al alejarse, y saber cuándo m·g·h es solo una aproximación. Continúa la gravedad a cierta altura.

Recuperar las bases · Caso resuelto · Variante autónoma · Dos preguntas para aplicar · Memoriza con sentido

Qué debes reconocer antes de operar

Modelo: planeta esférico, puntos exteriores (r ≥ radio), r medido desde el centro y potencial cero en el infinito.
Campo: |g| = G·M/r², dirigido hacia el centro; es un vector y se mide en N/kg (= m/s²).
Potencial: V_g = −G·M/r, escalar en J/kg; siempre negativo con este cero y aumenta (se acerca a 0) al alejarse.
Energía potencial: U_g = m·V_g, en J. ΔU_g = U₂ − U₁ = m·G·M·(1/r₁ − 1/r₂).
Trabajo de la fuerza gravitatoria: W_grav = −ΔU_g. m·g·h solo aproxima ΔU_g para alturas pequeñas frente a r, donde g es casi constante.

Procedimiento paso a paso

Distancias al centro: convierte alturas en r = R + h y todo a metros.
Potencial en cada punto: V = −G·M/r, con el signo.
Energía: U = m·V en cada punto; ΔU = U_final − U_inicial.
Trabajo y sentido: W_grav = −ΔU; si se aleja, ΔU > 0 y la fuerza gravitatoria hace trabajo negativo.
Comprobar: unidades (m³/s² ÷ m = J/kg) y que ningún V salga positivo con este cero.

Ejemplo resuelto: alejar una sonda de un planeta ideal

Un planeta ideal tiene G·M = 4·10¹⁴ m³/s². Una sonda de m = 2 kg pasa de r₁ = 1·10⁷ m a r₂ = 2·10⁷ m del centro. Calcula V₁, V₂, ΔU_g y el trabajo de la fuerza gravitatoria.

Datos y petición: GM = 4·10¹⁴ m³/s²; m = 2 kg; r₁ = 1·10⁷ m; r₂ = 2·10⁷ m; cero en el infinito.
Modelo y decisión: puntos exteriores y distancias grandes: no sirve m·g·h, porque g cambia de 4 N/kg a 1 N/kg. Usamos V = −GM/r.
Sustitución: V₁ = −4·10¹⁴/1·10⁷; V₂ = −4·10¹⁴/2·10⁷; ΔU = m·(V₂ − V₁).
Resultados: V₁ = −4·10⁷ J/kg, V₂ = −2·10⁷ J/kg; U₁ = −8·10⁷ J, U₂ = −4·10⁷ J; ΔU_g = +4·10⁷ J; W_grav = −4·10⁷ J.
Comprobación: al alejarse V sube hacia 0 y ΔU > 0; la fuerza gravitatoria apunta al centro y el desplazamiento hacia fuera, por eso su trabajo es negativo. Con m·g·h y g = 4 N/kg se obtendría 8·10⁷ J: el doble, porque g no es constante.

Campo y potencial del caso resuelto
r (m)	\|g\| = GM/r² (N/kg)	V = −GM/r (J/kg)	U = m·V (J)
1·10⁷	4	−4·10⁷	−8·10⁷
2·10⁷	1	−2·10⁷	−4·10⁷

Tu turno: otros radios en el mismo planeta

Con el mismo planeta (GM = 4·10¹⁴ m³/s²), un satélite de m = 3 kg pasa de r₁ = 2·10⁷ m a r₂ = 4·10⁷ m. Calcula V₁, V₂, ΔU_g y W_grav, con unidades y signos.

Mostrar solución razonada del potencial gravitatorio

V₁ = −4·10¹⁴/2·10⁷ = −2·10⁷ J/kg; V₂ = −4·10¹⁴/4·10⁷ = −1·10⁷ J/kg.
ΔU_g = 3·(−1·10⁷ − (−2·10⁷)) = +3·10⁷ J.
W_grav = −3·10⁷ J: se aleja contra la fuerza gravitatoria.
Comprobación: con la fórmula m·GM·(1/r₁ − 1/r₂) = 3·4·10¹⁴·(5·10⁻⁸ − 2,5·10⁻⁸) = 3·10⁷ J.

Elige y justifica: dos decisiones

Práctica original sin puntuación automática. No modifica los resultados del banco de preguntas existente.

1. Campo o potencial

¿Qué afirmación es correcta para un punto exterior a un planeta, con cero de potencial en el infinito?

g y V_g son vectores dirigidos al centro.
g es un vector en N/kg y V_g un escalar negativo en J/kg.
V_g es positivo porque la energía siempre es positiva.
g y V_g dependen de r del mismo modo, 1/r².

Mostrar solución de potencial 1

B. A da dirección a un escalar; C ignora el cero en el infinito, que hace V < 0; D confunde: g va con 1/r² y V con 1/r.

2. Usar m·g·h

¿Cuándo es aceptable calcular ΔU_g con m·g·h?

Siempre, si se usa g en la superficie.
Cuando la altura es pequeña frente a la distancia al centro, de modo que g es casi constante.
Solo para alturas mayores que el radio del planeta.
Nunca; es una fórmula incorrecta.

Mostrar solución de potencial 2

B. Es la aproximación de g constante. A falla para grandes alturas, como en el resuelto (daría el doble); C es justo el caso en que falla más; D exagera: es válida cerca de la superficie.

Memoriza con sentido

g vector, V escalar: |g| = GM/r² (N/kg, hacia el centro); V = −GM/r (J/kg, con cero en el infinito); U = m·V (J).
Alejarse: ΔU = m·GM·(1/r₁ − 1/r₂) > 0 y W_grav = −ΔU < 0. m·g·h solo para alturas pequeñas.

Errores frecuentes y criterio de logro

Error: usar la altura sobre la superficie como r. Corrección: r = R + h, desde el centro.
Error: perder el signo negativo de V o dar dirección al potencial.
Error: aplicar m·g·h a distancias comparables al radio.
Error: confundir W_grav con ΔU (tienen signos opuestos).

Lo has logrado si calculas V y U en dos puntos con signo y unidades, obtienes ΔU y W_grav coherentes y justificas cuándo vale m·g·h. Órbitas y velocidad de escape quedan fuera de esta ampliación.

Volver a Practicar Física.

Ejercicios y explicaciones propios; no son preguntas oficiales. Consulta de apoyo: Física universitaria volumen 1 (OpenStax), capítulo 13, Gravitación; sin enlace directo porque su dirección no se ha comprobado en esta revisión. Modelos anteriores orientan la preparación; no confirman el formato ni el programa de 2026/27.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Material y ejercicios originales de práctica; ampliaciones de campos revisadas el 23/10/2026. No son preguntas oficiales ni garantizan el programa del examen vigente. Los libros enlazados sirven de consulta y no se reproducen aquí.