Ruta de estudio · Fundamentos y medida · lección 3 de 14

F03 Magnitudes escalares y vectoriales

Base

Esta ficha trabaja primero vectores en una y dos dimensiones. Ir a la ampliación: vectores en tres dimensiones y vector unitario.

La idea

Entender el concepto

Objetivo: Distinguir distancia y desplazamiento y sumar vectores mediante componentes sin perder su sentido.

Una magnitud escalar se describe mediante valor y unidad; por ejemplo una masa. Un vector necesita además orientación: dirección y sentido. Decir que una fuerza vale 5 N no permite saber cómo modifica el movimiento si no se indica hacia dónde actúa.

La distancia es la longitud del camino recorrido; nunca es negativa. El desplazamiento une la posición inicial con la final. Volver al punto de partida produce desplazamiento cero aunque la distancia sea grande. La rapidez media usa distancia/tiempo y la velocidad media usa desplazamiento/tiempo.

En una recta elegimos un sentido positivo y sumamos componentes con signo. En dos ejes perpendiculares se suman por separado x e y; solo después se calcula el módulo. Para descomponer un vector, el ángulo debe estar medido respecto al eje indicado: el coseno da la componente adyacente.

Relaciones y condiciones de uso

Δx=xf−xi en una dimensión; |A|=√(Ax²+Ay²) en dos ejes cartesianos perpendiculares.
Ax=A cos θ; Ay=A sen θ si θ se mide desde+x con el convenio usual.
La suma vectorial conserva las unidades de sus sumandos; módulo no significa suma de módulos.

Paso a paso

Método paso a paso

Dibuja flechas y ejes; fija qué dirección es positiva.
Suma componentes con signo y unidad.
Calcula el módulo y describe el sentido, no solo un número.

Ejemplo

Dos ejercicios resueltos

1. Ir y volver

Una persona recorre 8 m al este y 3 m al oeste. Calcula distancia y desplazamiento.

Datos e incógnita: Este positivo; primer tramo+8 m; segundo−3 m.
Por qué usamos esta relación: La distancia suma longitudes; el desplazamiento suma vectores colineales.
Sustitución con unidades: d = 8 m + 3 m; Δx = (+8 m) + (−3 m).
Cálculo y resultado: d=11 m; Δx=+5 m, es decir 5 m al este.
Comprobación: El desplazamiento en módulo no puede superar la distancia; 5≤11.

2. Dos desplazamientos perpendiculares

Un robot avanza 6 m al este y 8 m al norte. Halla el desplazamiento resultante.

Datos e incógnita: Δx=6 m; Δy=8 m; los ejes son perpendiculares.
Por qué usamos esta relación: Pitágoras obtiene el módulo; las componentes fijan la dirección.
Sustitución con unidades: |Δr| = √[(6 m)² + (8 m)²]; tan θ = (8 m) / (6 m). El cociente de las componentes no tiene unidad.
Cálculo y resultado: |Δr|=10 m; θ≈53,1° al norte del este.
Comprobación: El camino mide 14 m; la recta que une extremos mide 10 m. No se suman 6+8 para obtener el módulo.

Cuidado

Error habitual y cómo corregirlo

Error: sumar módulos de vectores perpendiculares. Se suman componentes; Pitágoras solo sirve cuando los ejes son perpendiculares.

Tu turno · enunciado

Ejercicio autónomo

Dos fuerzas actúan sobre un punto: 12 N hacia el este y 5 N hacia el sur. Calcula módulo y orientación de su resultante.

Inténtalo en papel antes de desplegar la solución. Explica qué relación eliges y conserva las unidades.

Solución

Solución de contraste (consultar después)

Mostrar solución razonada

Fx=12 N; Fy=−5 N. Módulo=√(144+25)=13 N. Orientación≈22,6° al sur del este, porque tan θ=5/12. El signo negativo en y sitúa el vector hacia el sur.

Chuleta para el examen

Qué debes recordar

Δx=xf−xi en una dimensión; |A|=√(Ax²+Ay²) en dos ejes cartesianos perpendiculares.
Ax=A cos θ; Ay=A sen θ si θ se mide desde+x con el convenio usual.
La suma vectorial conserva las unidades de sus sumandos; módulo no significa suma de módulos.

Para ampliar con el libro

Selección básica: lee los conceptos y ejemplos algebraicos; puedes omitir los desarrollos con cálculo. Los enlaces se abren en una pestaña nueva.

Física universitaria volumen 1 · OpenStax · capítulo 2

Vectores en tres dimensiones: componentes, módulo y vector unitario

Objetivo: escribir un vector con tres componentes cartesianas, sumarlo o restarlo con otro de la misma magnitud, calcular su módulo y obtener su vector unitario cuando el vector no es nulo. Es la extensión directa de la suma por componentes en dos ejes que se explica al principio de esta lección.

Recuperar las bases · Caso resuelto · Variante autónoma · Dos preguntas para aplicar · Memoriza con sentido

Qué debes reconocer antes de operar

Con tres ejes perpendiculares x, y, z, un vector se escribe v = (v_x, v_y, v_z). Cada componente lleva signo y la unidad de la magnitud: un desplazamiento en metros, una fuerza en newtons. El signo indica el sentido respecto a cada eje; no es un error ni se elimina al final.

Recupera la suma por componentes en dos ejes del inicio de esta lección, las unidades de F02: Sistema Internacional y conversiones y un uso aplicado de componentes en F06: componentes del lanzamiento oblicuo.

Suma y resta: componente a componente, a ± b = (a_x ± b_x, a_y ± b_y, a_z ± b_z). Solo se suman vectores de la misma magnitud y unidad.
Módulo: |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²). Sirve porque los tres ejes son perpendiculares entre sí; nunca es negativo.
Vector unitario: u = v/|v| = (v_x/|v|, v_y/|v|, v_z/|v|), solo si v ≠ 0. Tiene módulo 1, no tiene unidad y apunta en la misma dirección y sentido que v.

Qué conserva y qué cambia cada operación
Operación	Resultado	Unidad	Condición
Suma o resta a ± b	Otro vector, componente a componente	La de a y b	a y b de la misma magnitud
Módulo \|v\|	Un número no negativo	La de v	Ejes perpendiculares
Unitario v/\|v\|	Vector de módulo 1	Sin unidad	v distinto del vector cero

Este bloque no trata el producto vectorial ni los momentos de fuerza.

Procedimiento paso a paso

Escribe cada vector con tres componentes. Si falta una, vale 0; no la omitas al calcular el módulo.
Comprueba que las magnitudes coinciden antes de sumar o restar: metros con metros, newtons con newtons.
Opera componente a componente, respetando los signos. Restar un número negativo equivale a sumar su valor absoluto.
Calcula el módulo elevando al cuadrado las tres componentes, sumando y extrayendo la raíz. No sumes las componentes ni sus valores absolutos.
Si piden el unitario, comprueba que el módulo no es cero y divide cada componente entre el módulo. Comprueba que las componentes del unitario conservan los signos de v y que la suma de sus cuadrados es 1.

🧮 Potencias y raíces: introducir la raíz de una suma con paréntesis. La calculadora ayuda a operar; primero escribe las componentes y confirma qué funciones permite tu examen.

Ejemplo resuelto: módulo y unitario de un desplazamiento

Un dron se desplaza v = (2, −3, 6) m respecto a su punto de partida, con x hacia el este, y hacia el norte y z hacia arriba. Calcula el módulo del desplazamiento y su vector unitario, e interpreta los signos.

Datos e incógnitas: v_x = 2 m, v_y = −3 m, v_z = 6 m. Buscamos |v| y u = v/|v|.
Por qué estas relaciones: los ejes son perpendiculares, así que el módulo sale de la raíz de la suma de cuadrados. El vector no es nulo, por lo que el unitario existe.
Sustitución con unidades: |v| = √[(2 m)² + (−3 m)² + (6 m)²] = √(4 + 9 + 36) m; u = (2 m, −3 m, 6 m)/|v|.
Resultado: |v| = √49 m = 7 m; u = (2/7, −3/7, 6/7) ≈ (0,286; −0,429; 0,857), sin unidad. El dron acaba al este, al sur y por encima del punto de partida.
Comprobación: (2/7)² + (3/7)² + (6/7)² = (4 + 9 + 36)/49 = 1. Al multiplicar u por 7 m se recupera v. Las tres componentes de u tienen los mismos signos que las de v: mismo sentido.

Tu turno: sumar y restar con signos

Dos desplazamientos sucesivos son a = (1, 4, −2) m y b = (3, −6, −2) m, con los mismos ejes del caso resuelto. Calcula el desplazamiento total s = a + b, su módulo y su vector unitario. Calcula también las componentes de a − b.

Resuelve en papel antes de abrir la solución. Explica qué haces con cada signo, además de escribir el resultado.

Mostrar solución razonada de la variante en tres dimensiones

s = (1 + 3, 4 + (−6), −2 + (−2)) m = (4, −2, −4) m.
|s| = √(16 + 4 + 16) m = √36 m = 6 m.
Como s ≠ 0, u = (4/6, −2/6, −4/6) = (2/3, −1/3, −2/3), sin unidad.
a − b = (1 − 3, 4 − (−6), −2 − (−2)) m = (−2, 10, 0) m. La componente z se anula, pero sigue escrita.

Comprobación: (2/3)² + (1/3)² + (2/3)² = 9/9 = 1, y 6 m · u = s. Fíjate en que |a| = √21 m ≈ 4,58 m y |b| = 7 m: el módulo de la suma, 6 m, no es |a| + |b|.

Elige y justifica: dos decisiones

Práctica original sin puntuación automática. No modifica los resultados ni el progreso del banco de preguntas existente.

1. Módulo con tres componentes

Una fuerza vale F = (1, 2, −2) N en ejes cartesianos perpendiculares. ¿Cuál es su módulo?

1 N, sumando las componentes con su signo.
3 N.
9 N.
√5 N ≈ 2,24 N.

Mostrar solución de vectores en 3D 1

B. |F| = √(1² + 2² + (−2)²) N = √9 N = 3 N. A suma componentes como si fueran números de una recta, y un módulo no se obtiene así; C olvida extraer la raíz cuadrada; D omite la componente z, que también contribuye aunque sea negativa, porque su cuadrado es positivo.

2. Vector unitario con unidades y signos

Un desplazamiento es d = (0, −4, 3) m. ¿Cuál es su vector unitario?

(0, −4/5, 3/5), sin unidad.
(0, 4/5, 3/5), sin unidad.
(0, −4/7, 3/7), sin unidad.
(0; −0,8; 0,6) m.

Mostrar solución de vectores en 3D 2

A. |d| = √(0 + 16 + 9) m = 5 m y u = d/|d|. B pierde el signo de la componente y, así que apuntaría en otra dirección; C divide entre 4 + 3 = 7, la suma de valores absolutos, en lugar del módulo, y su módulo no es 1; D tiene los números correctos, pero conserva la unidad m: al dividir metros entre metros el unitario queda sin unidad.

Memoriza con sentido

Tres componentes, un solo módulo: |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²), porque los ejes son perpendiculares. Suma cuadrados, no componentes ni módulos.
El unitario conserva el sentido y pierde la unidad: u = v/|v| solo si v ≠ 0. Tiene módulo 1, los mismos signos que v y ninguna unidad.

Errores frecuentes y criterio de logro

Error: omitir la componente z cuando vale 0 o es negativa. Corrección: escribe siempre las tres componentes.
Error: calcular el módulo de la suma como |a| + |b|. Corrección: suma primero componentes y calcula después el módulo.
Error: dejar unidad en el unitario o dividir entre la suma de componentes. Corrección: divide entre el módulo y comprueba que el resultado tiene módulo 1.
Error: buscar el unitario del vector cero. Corrección: no existe; su dirección no está definida.

Lo has logrado si puedes sumar y restar dos vectores con componentes positivas y negativas, calcular el módulo sin calculadora en casos sencillos, obtener el unitario explicando por qué no tiene unidad y comprobar que conserva el sentido de v.

Si dudas, vuelve a las bases o al resuelto y repite la variante sin mirar. Volver a Practicar Física.

Ejercicios y explicaciones propios; no son preguntas oficiales. Consulta de apoyo: Física universitaria volumen 1 · OpenStax · 2.1 Escalares y vectores (nueva pestaña). Modelos anteriores orientan la preparación; no confirman el formato ni el programa de 2026/27.

Combinaciones de vectores y resultante de dos fuerzas que forman un ángulo

Objetivo: calcular expresiones como 2u − 3(v − w) componente a componente, respetando signos y paréntesis, y obtener la resultante de dos fuerzas que forman un ángulo cualquiera sin sumar sus módulos. Las cuestiones de vectores de los modelos de 2025 y 2026 piden este tipo de operaciones.

Recuperar las bases · Pistas del enunciado · Casos resueltos · Variante autónoma · Memoriza con sentido

Qué debes recuperar antes de operar

Usa la suma por componentes del inicio de esta lección y la notación del bloque de vectores en tres dimensiones. En el plano, u = 3i − j significa u = (3, −1): i y j son los vectores unitarios de los ejes x e y.

Número por vector: k·v = (k·vₓ, k·v_y). Cada componente se multiplica por k con su signo. El módulo queda multiplicado por |k|; si k < 0, el sentido se invierte.
Paréntesis: −3(v − w) = −3v + 3w. El signo y el número de delante afectan a todas las componentes de todo lo que está dentro.
Combinación: a·u + b·v + c·w se calcula componente a componente: primero la x, después la y. El resultado es otro vector; su módulo se calcula al final.
Fuerza con ángulo: si F forma un ángulo θ con el eje +x, medido en sentido antihorario, F = (F·cos θ, F·sen θ). Con θ = 120°, cos 120° = −1/2 y sen 120° = √3/2: la componente x es negativa.
Límites de la resultante de dos fuerzas: |F₁ − F₂| ≤ |R| ≤ F₁ + F₂. Solo vale F₁ + F₂ si tienen la misma dirección y sentido, y solo vale |F₁ − F₂| si son opuestas.

Pistas para reconocer el caso en un enunciado

Aparecen números delante de los vectores o paréntesis, como 4u, 5u − 3v o 2(u + v) − w: es una combinación lineal. Opera por componentes.
Dan dos fuerzas por su módulo y el ángulo entre sus direcciones, sin componentes: coloca una sobre el eje x y descompón la otra con coseno y seno.
Las opciones son intervalos, como «mayor que 7 N y menor que 17 N»: calcula el módulo y compáralo con |F₁ − F₂| y F₁ + F₂.

Procedimiento paso a paso

Escribe cada vector con sus componentes, también las nulas. Si se da con i y j, pásalo a pares (x, y).
Resuelve primero el paréntesis o distribuye el número de delante; los dos caminos deben dar lo mismo.
Multiplica cada vector por su coeficiente, con su signo, y suma por separado las componentes x y las componentes y.
Para dos fuerzas con un ángulo, elige ejes: F₁ sobre +x y F₂ con su ángulo. Calcula sus componentes con la calculadora en grados y súmalas.
Calcula el módulo al final con √(Rₓ² + R_y²) y comprueba que está entre |F₁ − F₂| y F₁ + F₂.

🧮 Comprobar que la calculadora está en grados · Seno y coseno de un ángulo · Raíz de una suma con paréntesis. La calculadora ayuda a operar; confirma qué funciones permite tu examen.

Casos resueltos: una combinación y una resultante a 120°

1. Combinación con paréntesis (ejercicio propio)

Con u = 3i − j, v = −2i + 4j y w = i + 2j, calcula s = 2u − 3(v − w) y su módulo.

Datos: u = (3, −1), v = (−2, 4), w = (1, 2).
Paréntesis primero: v − w = (−2 − 1, 4 − 2) = (−3, 2); después −3(v − w) = (9, −6).
Coeficiente de u: 2u = (6, −2).
Suma por componentes: s = (6 + 9, −2 − 6) = (15, −8) = 15i − 8j; |s| = √(225 + 64) = √289 = 17.
Comprobación por otro camino: distribuyendo, 2u − 3v + 3w = (6 + 6 + 3, −2 − 12 + 6) = (15, −8). Coincide.

2. Dos fuerzas de 5 N y 12 N que forman 120°

Dato de examen histórico: modelo 1 de marzo de 2026, cuestión 2. Dos fuerzas de 5 N y 12 N actúan sobre un cuerpo y sus direcciones forman 120°. ¿Cuánto vale la resultante y qué intervalo de los propuestos le corresponde?

Ejes: F₁ sobre +x y F₂ a 120° de F₁. F₁ = (5, 0) N; F₂ = (12·cos 120°, 12·sen 120°) N = (−6, 6√3) N.
Por qué no se suman módulos: 5 + 12 = 17 N solo sería la resultante si las dos fuerzas tuvieran la misma dirección y sentido. A 120° la componente x de F₂ se opone a F₁.
Componentes de la resultante: R = (5 − 6, 0 + 6√3) N = (−1, 6√3) N ≈ (−1; 10,392) N.
Módulo: |R| = √(1 + 108) N = √109 N ≈ 10,44 N. Como 12 − 5 = 7 N y 12 + 5 = 17 N, el resultado está entre 7 N y 17 N.
Comprobación: |R|² = 5² + 12² + 2·5·12·cos 120° = 169 − 60 = 109 N². R forma unos 95,5° con F₁: apunta hacia el lado de F₂, la fuerza mayor.

Tu turno: otra combinación y otro ángulo

(a) Con a = 2i − 3j, b = −i + 5j y c = −2j, calcula 3a − (b + 2c) y su módulo. (b) Una fuerza de 6 N actúa a lo largo de +x y otra de 10 N forma 135° con ella. Calcula las componentes y el módulo de la resultante, y comprueba el intervalo posible.

Ejercicio propio. Resuelve en papel antes de abrir la solución y explica qué haces con cada signo.

Mostrar solución razonada de la variante de combinaciones

b + 2c = (−1 + 0, 5 − 4) = (−1, 1); 3a = (6, −9); 3a − (b + 2c) = (6 + 1, −9 − 1) = (7, −10) = 7i − 10j. Módulo: √(49 + 100) = √149 ≈ 12,21.
Comprobación distribuyendo: 3a − b − 2c = (6 + 1 − 0, −9 − 5 + 4) = (7, −10).
F₁ = (6, 0) N; F₂ = (10·cos 135°, 10·sen 135°) N = (−5√2, 5√2) N ≈ (−7,071; 7,071) N.
R ≈ (−1,071; 7,071) N y |R| = √(136 − 60√2) N ≈ 7,15 N.

Comprobación: 10 − 6 = 4 N < 7,15 N < 16 N = 10 + 6. La componente x de R es negativa porque cos 135° < 0 y el valor absoluto de la componente x de F₂, unos 7,07 N, supera a los 6 N de F₁. Sumar 6 + 10 = 16 N daría una resultante imposible para fuerzas que no son paralelas.

Memoriza con sentido

El número multiplica cada componente; el paréntesis, a todo lo de dentro: −3(v − w) = −3v + 3w. Se opera por componentes y el módulo se calcula al final.
Dos fuerzas no paralelas: entre la diferencia y la suma: Con F₁ sobre +x, F₂ = (F₂·cos θ, F₂·sen θ). Siempre |F₁ − F₂| ≤ |R| ≤ F₁ + F₂; los extremos solo se alcanzan si son paralelas.

Errores frecuentes y criterio de logro

Error: aplicar el signo de −3(v − w) solo a v. Corrección: −3 multiplica a v y a −w, así que w queda con +3.
Error: sumar módulos de fuerzas que forman un ángulo. Corrección: suma componentes y comprueba el intervalo.
Error: tomar cos 120° positivo o tener la calculadora en radianes. Corrección: comprueba la D de grados; un ángulo entre 90° y 180° tiene coseno negativo.
Error: calcular el módulo de cada vector antes de combinarlos. Corrección: el módulo de una combinación no es la combinación de los módulos.

Lo has logrado si resuelves una combinación con coeficientes negativos y paréntesis por dos caminos, das el resultado con i y j, y obtienes la resultante de dos fuerzas con ángulo justificando por qué su módulo está en el intervalo.

Siguiente paso: estas sumas de fuerzas se usan en F07 · plano inclinado y las componentes con ángulo en F06 · lanzamiento oblicuo. Volver a Practicar Física.

Ejercicios propios, salvo el dato histórico señalado. Las componentes exactas de los vectores de las cuestiones de vectores de 2025 y 2026 no se reproducen porque su extracción de texto no las conserva con seguridad. Modelos anteriores orientan la preparación; no confirman el formato ni el programa de 2026/27.

Comprueba lo que sabes

Si fallas, tienes un segundo intento antes de ver la solución.

Material y ejercicios originales de práctica, revisados el 20/10/2026. No son preguntas oficiales ni garantizan el programa del examen vigente. Los libros enlazados sirven de consulta y no se reproducen aquí.